Примарна абелева група

$p$-примарна (або $p$-праймерна) абелева група (де $p$ — фіксоване просте число) — абелева група $(A,+)$, така, що порядок будь-якого елемента з $A$ є степенем $p$.

Приклади

• $({\mathbb{Z}}_{p^n},+)$ — адитивна група класів залишків за модулю $p^n$ ;
• $({\mathbb{Z}}_p[x],+)$ — адитивна група кільця многочленів над полем ${\mathbb{Z}}_p$.

Властивості

• Будь-яка періодична абелева група (тобто група без елементів нескінченного порядку) розкладається на пряму суму $p$-примарних підгруп.

Примарна абелева група $(A,+)$ називається елементарною, якщо всі її ненульові елементи мають порядок рівний $p$.

• Абелева група $A$ є $p$-примарною елементарною тоді й лише тоді, коли вона розкладається в пряму суму груп вигляду ${\mathbb{Z}}_p$.

$p$-висотою елемента $a\in A$ називають найменше натуральне число $n$, таке що $a\in nA$. Якщо такого натурального $n$ не існує, то елемент $a$ має нескінченну $p$-висоту.

• Критерій Шаблон:Нп: $p$-примарна абелева група $A$ є прямою сумою циклічних груп тоді й лише тоді, коли $A$ є об'єднанням зростаючого ланцюжка підгруп

$A_1\subseteq A_2\subseteq \dots \subseteq A_n\subseteq \dots ,\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A$ ,

де $p$-висоти ненульових елементів підгруп $A_i$ менші від фіксованого елемента $k_n$.

Критерій Кулікова узагальнює теореми Шаблон:Нп:

• Перша теорема Прюфера: Обмежена $p$-примарна (періодична) абелева група є прямою сумою циклічних підгруп.
• Друга теорема Прюфера: Зліченна $p$-примарна абелева група розкладається в пряму суму циклічних підгруп тоді й лише тоді, коли вона не містить ненульових елементів нескінченної $p$-висоти.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття