Стаціонарний розподіл

Стаціонарний розподіл ланцюга Маркова — розподіл імовірності, який не змінюється з часом.

Визначення

Нехай $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ — однорідний ланцюг Маркова з дискретним часом, зліченним простором станів $\{1,2,\dots \}$, та матрицею перехідних імовірностей $P=(p_{ij}),i,j=1,2,\dots$. Тоді дискретний розподіл $𝐪=(q_1,q_2,\dots )$ називають стаціонарним (інваріантним), якщо

$𝐪P=𝐪$ .

Зауваження

Якщо $𝐪$ — початковий розподіл ланцюга $\{X_n\}$, тобто

$\mathbb{P}(X_0=i)=q_i,i\in \mathbb{N}$ ,

те й розподіл решти членів $X_n,n\ge 1$ також збігається з $𝐪$.

Основна теорема про стаціонарні розподіли

Нехай $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ — ланцюг Маркова з дискретним простором станів. Тоді в цьому ланцюзі існує єдиний стаціонарний розподіл тоді й лише тоді, коли у множині його станів є рівно один додатно зворотний клас.

Див. також

• Ергодичний розподіл