K-функція

У математиці K-функція, зазвичай позначається як $K (z)$ , — узагальнення функції гіперфакторіала для комплексних чисел подібно до гамма-функції як узагальнення функції факторіала для комплексних чисел.

Означення

Формально K-функція визначається так

K (z) = (2 π)^{- \frac{z - 1}{2}} \exp [C_{z}^{2} + \int_{0}^{z - 1} \ln Γ (t + 1) d t] .

Також можна записати її у простішій формі:

K (z) = \exp [ζ^{'} (- 1, z) - ζ^{'} (- 1)],

ζ^{'} (a, z) \overset{d e f}{=} {\frac{\partial ζ (s, z)}{\partial s} |}_{s = a} .

Інша форма запису через полігамма-функцію^[1]:

K (z) = \exp [ψ^{(- 2)} (z) + \frac{z^{2} - z}{2} - \frac{z}{2} \ln 2 π] .

Або, використовуючи Шаблон:Нп^[2], можна сказати, що

K (z) = A \exp [ψ (- 2, z) + \frac{z^{2} - z}{2}],

Нехай $α > 0$ . Тоді

\int_{α}^{α + 1} \ln K (x) d x - \int_{0}^{1} \ln K (x) d x = \frac{1}{2} α^{2} (\ln α - \frac{1}{2}) .

Нехай

f (α) = \int_{α}^{α + 1} \ln K (x) d x .

Диференціюючи цю рівність по $α$ , отримаємо

f^{'} (α) = \ln K (α + 1) - \ln K (α) = \ln \frac{K (α + 1)}{K (α)} .

За означенням K-функції можна записати

f^{'} (α) = α \ln α .

Також

f (α) = \frac{1}{2} α^{2} (\ln α - \frac{1}{2}) + C .

Покладемо $α = 0$ . Тоді отримаємо

\int_{0}^{1} \ln K (x) d x = \lim_{t \to 0} [\frac{1}{2} t^{2} (\ln t - \frac{1}{2})] + C = C .

Тепер можна зробити висновок про рівність, наведену вище.

K-функція тісно пов'язана з гамма-функцією та Шаблон:Нп: для натуральних $n$ маємо

K (n) = \frac{(Γ (n))^{n - 1}}{G (n)} .

Можна записати цю рівність більш просто

K (n + 1) = 1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \dots n^{n} .

Значення функції при натуральних аргументах:

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, \dots

↑ Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
↑ Olivier Espinosa Victor Hugo Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115