Квадратурна формула Гаусса — Лаґерра

У чисельному аналізі квадрату́рна фо́рмула Га́усса — Лаґе́рра або метод Гаусса — Лаґерра — це поліпшення формули чисельного інтегрування Гаусса.

Квадратурна формула Гаусса — Лаґерра апроксимує значення інтегралів вигляду:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}f(x)dx$

поруч за $n$ точками:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i),$

де $x_i$ — це $i$-й корінь полінома Лаґерра $L_n(x)$, а коефіцієнти $w_i$:

$w_i=\frac{x_i}{(n+1{)}^2{L}_{n+1}^2(x_i)}.$

Для функції довільного вигляду

Для інтеграла довільної функції можна записати:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^x{e}^{-x}dx=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)e^{-x}dx,$

де $g(x)=f(x)e^x$.

Далі можна застосувати квадратурну формулу Гаусса — Лаґерра до нової функції $g(x)$.

Див. також

• Чисельне інтегрування