Мінімальна поверхня Каталана

Catalan's minimal surface.

Шаблон:Не плутати У диференціальній геометрії мінімальна поверхня Каталана — це мінімальна поверхня, вперше досліджена Еженом Шарлем Каталаном у 1855 році.

Вона має особливу властивість бути мінімальною поверхнею, що містить циклоїду як геодезичну. Вона також замітається сімейством параболічних кривих.

Параметризація

Поверхня має математичні характеристики, що виражаються параметричними рівняннями:

$\begin{array}{cc}x(u,v)& =u-\sin (u)\cosh (v)\\ y(u,v)& =1-\cos (u)\cosh (v)\\ z(u,v)& =4\sin (u/2)\sinh (v/2)\end{array}$

Параметризацію мінімальної поверхні Каталана можна отримати при $f(z)=i\frac{1-z^2}{z^3},g(z)=z$ (а тоді $z=e^{u+iv}$) у веєрштрасівській параметризації мінімальної поверхні:

$\begin{array}{cc}x& =a\mathrm{\Re }\{\underset{0}{\overset{w}{\int }}(1-g(z{)}^2)f(z)dz\}\\ y& =a\mathrm{\Re }\{i\underset{0}{\overset{w}{\int }}(1+g(z{)}^2)f(z)dz\}\\ z& =a\mathrm{\Re }\{2\underset{0}{\overset{w}{\int }}g(z)f(z)dz\},\end{array}$

де $\mathrm{\Re }\{z\}$ позначає дійсну частину $z$.

Див. також

• Поверхня Каталана

Ланки

• Weisstein, Eric W. "Catalan's Surface." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CatalansSurface.html Шаблон:Webarchive
• Weiqing Gu, The Library of Surfaces. https://web.archive.org/web/20130317011222/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/catalan.html