Дзета-розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностейУ теорії ймовірності та статистиці дзета -розподіл є дискретним розподілом ймовірностей . Якщо X є дельта-розподіленою випадковою величиною з параметром s, то ймовірність того, що X прийме ціле значення k, задається наступною функцією ймовірності

$f_s(k)=k^{-s}/\zeta (s)$

де ζ ( s ) є дзета -функцією Рімана, яка є невизначена при s = 1.

Кратності окремих простих множників від X є незалежними випадковими величинами .

Дзета -функція Рімана, як сума всіх доданків $k^{-s}$ при цілому додатному числі k, виглядає як нормалізація розподілу Зипфа . Терміни "розподіл Зипфа" та "дзета -розподіл" часто використовуються як взаємозамінні. Але варто звернути увагу, що хоча розподіл дзети сам по собі є імовірнісним розподілом, він не асоціюється із законом Зіффа з тією самою експонентою.

Визначення

Зета -розподіл є визначений для натуральних чисел $k\ge 1$, а її функція ймовірності задається як

$P(x=k)=\frac{1}{\zeta (s)}{k}^{-s}$ ,

де $s>1$ є параметром і $\zeta (s)$ - дзета-функція Рімана .

Кумулятивна функція розподілу задається формулою

$P(x\le k)=\frac{H_{k,s}}{\zeta (s)},$

де $H_{k,s}$ - узагальнене гармонічне число

$H_{k,s}=\sum _{i=1}^k\frac{1}{i^s}.$