Конфігурація Кремони — Річмонда
Конфігурація Кремони — Річмонда — конфігурація з 15 прямих і 15 точок, по три точки, що лежать на кожній прямій, і через кожну точку проходять 3 прямих, при цьому конфігурація не містить трикутників. Конфігурацію вивчали Кремона Шаблон:Harvard citation і Шаблон:Не перекладено Шаблон:Harvard citation. Конфігурація є узагальненим чотирикутником з параметрами (2,2). Граф Леві конфігурації — це граф Татта — Коксетера.[1]
Симетрія
Точки конфігурації Кремони — Річмонда можна ототожнити з невпорядкованими парами елементів множини з шести елементів, прямі ж конфігурації можна ототожнити з 15 способами розкладання цих шести елементів на три пари, при цьому точка інцидентна прямій (лежить на прямій) тоді й лише тоді, коли відповідна пара елементів міститься в розкладі, відповідному прямій. У цій схемі пари елементів називають двійками (duads), а розклади на три пари називаються наборами (synthemes). Таким чином, симетрична група шести елементів діє транзитивно на прапори конфігурації, де прапор — це пара-пряма і точка на ній. Ця група є групою автоморфізмів конфігурації.[1]
Конфігурація Кремони — Річмонда є самодвоїстою — можна поміняти місцями точки і прямі, зберігаючи при цьому всі властивості інцидентності конфігурації. Ця двоїстість надає графу Татта — Коксетера додаткових симетрій, що не належать симетріям конфігурації Кремони — Річмонда, які міняють місцями обидві частки двочасткового графу. Ці симетрії відповідають зовнішнім автоморфізмам симетричної групи шести елементів.
Реалізація
Будь-які шість точок у загальному положенні в чотиривимірному просторі дають 15 точок, які визначаються перетином прямих, що проходять через дві точки, з гіперплощинами, визначеними іншими чотирма точками. Таким чином, двійки відповідають один до одного цим отриманим 15 точкам. Будь-які три двійки, які разом утворюють набір, задають пряму, що є перетином трьох гіперплощин, які містять дві з трьох трійок з набору, і ця пряма містить усі точки, відповідні трьом двійкам набору. Таким чином, двійки і набори абстрактної конфігурації один до одного відповідають, у сенсі належності точок прямим, цим 15 точкам і 15 прямим, отриманим із початкових шести точок. Цю ж побудову можна спроєктувати в евклідів простір (3-вимірний) або на евклідову площину.[1]
Конфігурація Кремони — Річмонда має також сімейство реалізацій на площині, залежне від одного параметра, яке має циклічну симетрію п'ятого порядку.[2]
Історія
Шлефлі Шаблон:Harvard citationШаблон:Harvard citation знайшов кубічні поверхні, що містять 15 дійсних прямих (додаткових до подвійної шістки Шлефлі у множині 27 прямих кубик) і 15 дотичних площин, по три прямих на кожній площині і по три площини, що проходять через кожну пряму. Перетин цих прямих і площин зі ще однією площиною дає конфігурацію 153153. Цю модель інциденцій прямих і площин Шлефлі пізніше опублікував Кремона Шаблон:Harvard citation. Те, що отримана конфігурація не містить трикутників, помітив Мартінетті Шаблон:Harvard citation. Та сама конфігурація з'явилася в роботі Річмонда Шаблон:Harvard citation. Вісконті Шаблон:Harvard citation виявив, що конфігурацію можна подати у вигляді самовписаного багатокутника. Шаблон:Не перекладено використовував чотиривимірну реалізацію конфігурації як малюнок на обкладинці його двотомної роботи 1922—1925 Principles of Geometry (Основи геометрії). Захаріс Шаблон:Harvard citation перевідкрив ту саму конфігурацію і виявив її реалізацію з циклічною симетрією п'ятого порядку.[3]
Назва конфігурації походить від робіт Кремони Шаблон:Harvard citationШаблон:Harvard citation і Річмонда Шаблон:Harvard citation. Можливо, внаслідок деяких помилок у роботах Мартінетті, його внесок залишився непоміченим.[3]
Примітка
Література
- Шаблон:Стаття
- Шаблон:Стаття.
- Шаблон:Стаття.
- Шаблон:Стаття.
- Шаблон:Стаття. Як процитовано в Шаблон:Harvnb.
- Шаблон:Стаття
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Стаття.
- Шаблон:Стаття
- Шаблон:Стаття.
- Шаблон:Стаття.
- Шаблон:Стаття.
- Шаблон:Стаття Як процитовано в Шаблон:Harvnb.
- Шаблон:Стаття.
Посилання
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Шаблон:Harvnb; Шаблон:Harvnb. Терміни двійки (duads) і набори (synthemes) взято зі статті Сильвестера Шаблон:Harvard citation, але Сильвестер використав ці системи пар і розкладів у контексті загальніших досліджень комплектів і розкладів множин, не надаючи особливої уваги множині зі шести елементів і не пов'язуючи цих множин із геометрією.
- ↑ Шаблон:Harvnb; Шаблон:Harvnb; Шаблон:Harvnb.
- ↑ 3,0 3,1 Історію конфігурації Кремони — Річмонда та більшість посилань взято зі статті Шаблон:Harvnb. Посилання на Бейкера взято зі статті Коксетера Шаблон:Harvard citation.