Часткова геометрія

Нехай є структура інцидентності $C=(P,L,I)$, що складається з точок $P$, прямих $L$ і прапорів $I\subseteq P\times L$. Кажуть, що точка $p$ інцидентна прямий $l$, якщо $(p,l)\in I$. Структура називається скінченною частковою геометрією, якщо існують цілі числа $s,t,\alpha \ge 1$, такі, що:

• Для будь-якої пари різних точок $p$ і $q$ існує максимум одна пряма, яка відповідає обом точкам.
• Кожна пряма інцидентна $s+1$ точці.
• Кожна точка інцидентна $t+1$ прямій.
• Якщо точка $p$ і пряма $l$ не інцидентні, існує рівно $\alpha$ пар $(q,m)\in I$, таких, що $p$ інцидентна $m$, а $q$ інцидентна $l$.

Часткова геометрія з цими параметрами позначається $pg(s,t,\alpha )$.

Властивості

• Число точок задається формулою $\frac{(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }$, а число прямих — формулою $\frac{(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }$.
• Точковий граф структури $pg(s,t,\alpha )$ є сильно регулярним графом: $srg((s+1)\frac{(st+\alpha )}{\alpha },s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))$.
• Часткові геометрії двоїсті — двоїстою структурою для $pg(s,t,\alpha )$ є структура $pg(t,s,\alpha )$.

Окремі випадки

• Узагальнені чотирикутники — це точно часткові геометрії $pg(s,t,\alpha )$ з $\alpha =1$.
• Системи Штейнера — це точно часткові геометрії $pg(s,t,\alpha )$ з $\alpha =s+1$.

Узагальнення

Шаблон:Не перекладено $S=(P,L,I)$ порядку $s,t$ називають напівчастковою геометрією, якщо існують цілі числа $\alpha \ge 1,\mu$, такі, що:

• Якщо точка $p$ і пряма $\ell$ не інцидентні, існує або $0$, або рівно $\alpha$ пар $(q,m)\in I$, таких, що $p$ інцидентна $m$ і $q$ інцидентна $\ell$.
• Будь-яка пара неколінеарних точок має рівно $\mu$ спільних сусідів.

Напівчасткова геометрія є частковою геометрією тоді і тільки тоді, коли $\mu =\alpha (t+1)$.

Легко показати, що граф колінеарності такої геометрії строго регулярний з параметрами $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )$.

Хороший приклад такої геометрії виходить, якщо взяти афінні точки $PG(3,q^2)$ і тільки ті прямі, які перетинають площину на нескінченності в точці фіксованої підплощини Бера. Геометрія має параметри $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^2-1,q^2+q,q,q(q+1))$.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття