Зв'язний простір

Зв'язані і незв'язані простори в R². Простір A зверху є зв'язним; затемнений простір B внизу — не є.

Зв'язний простір — топологічний простір, який не можна подати у вигляді об'єднання двох неперетинних відкритих множин. Зв'язність є однією з основних топологічних властивостей, що застосовуються для розрізнення топологічних просторів.

Зазвичай достатньо просто думати про те, що не є зв'язним. Простим прикладом може бути простір, що складається з двох прямокутників, кожен з яких є простором, і не перетинається з іншим. Простір не є зв'язним, тому що два прямокутники не зв'язані. Можна також навести ще один простий приклад простору, в якому вирізали кільце. Простір не є зв'язним тому що ми не можемо з'єднати дві точки, одна з яких лежить у кільці, а інша ззовні.

Формальне означення

Такі означення еквівалентні. Топологічний простір $(X,\mathrm{T})$ називається зв'язним, якщо:

1. Єдиними одночасно відкритими і замкнутими множинами є лише $X$ та $\mathrm{\varnothing }$.
2. $X$ не можна подати як об'єднання двох не порожніх розділених множин.
3. $X$ не можна поділити на дві замкнені непорожні множини без перетинів.
4. Єдиними множинами, границя яких є пустою є лише $X$ та $\mathrm{\varnothing }$.

Приклади

• $ℝ$ зі стандартною топологією є зв'язним топологічним простором.

Джерела

• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2