Розкриття невизначеностей

Розкриття невизначеностей — методи обчислення границь функцій, заданих формулами, які внаслідок формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази на зразок:

$(\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty })$

$\left(\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\right)$

$\left(\frac{0}{0}\right)$

$(0\cdot \mathrm{\infty })$

$\left(0^0\right)$

$\left({\mathrm{\infty }}^0\right)$

$\left(1^{\mathrm{\infty }}\right)$

(Тут $0$ — нескінченно мала величина, а $\mathrm{\infty }$ — нескінченно велика величина)

за якими неможливо з'ясувати, існують чи ні шукані границі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.

Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити границю. До того ж безпосередньо його можна застосувати тільки до другого і третього з перерахованих типів невизначеностей, тобто відношень, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку звести до одного з цих.

Також для обчислення границь часто використовують розкладання виразів, що входять у досліджувану невизначеність, у ряд Тейлора в околі граничної точки. Для розкриття невизначеностей типів $\left(0^0\right)$, $\left(1^{\mathrm{\infty }}\right)$, $\left({\mathrm{\infty }}^0\right)$ користуються таким прийомом: знаходять границю (натурального) логарифма виразу, що містить дану невизначеність. Як наслідок, тип невизначеності змінюється. Після знаходження границі від неї беруть експоненту.

$\left(0^0\right)=\left(e^{0\cdot \ln 0}\right)=\left(e^{0\cdot (-\mathrm{\infty })}\right)$

$\left(1^{\mathrm{\infty }}\right)=\left(e^{\mathrm{\infty }\cdot \ln 1}\right)=\left(e^{\mathrm{\infty }\cdot 0}\right)$

$\left({\mathrm{\infty }}^0\right)=\left(e^{0\cdot \ln \mathrm{\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \mathrm{\infty }}\right)$

Для розкриття невизначеностей типу $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ використовують такий алгоритм:

1. Виявлення старшого степеня змінної;
2. Ділення на цю змінну як чисельника, так і знаменника.

Для розкриття невизначеностей типу $\left(\frac{0}{0}\right)$ існує такий алгоритм:

1. Розкладання на множники чисельника і знаменника;
2. Скорочення дробу.

Для розкриття невизначеностей типу $(\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty })$ іноді зручно застосувати таке перетворення:

нехай $f(x)\stackrel{x\to a}{\to }\mathrm{\infty }$ і $g(x)\stackrel{x\to a}{\to }\mathrm{\infty }$ ;

$\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-g(x)]=(\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty })=\underset{x\to a}{\lim }(\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}-\frac{1}{\frac{1}{g(x)}})=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}\cdot \frac{1}{f(x)}}=\left(\frac{0}{0}\right)$ .

Невизначеності цього типу можна розкрити з використанням асимптотичних розкладів зменшуваного і від'ємника, при цьому нескінченно великі члени одного порядку мають знищуватися.

При розкритті невизначеностей також застосовуються чудові границі та їх наслідки.

Приклад

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{a^x-x^a}{x-a},a>0$ — приклад невизначеності типу $\left(\frac{0}{0}\right)$ . За правилом Лопіталя $\underset{x\to a}{\lim }\frac{a^x-x^a}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{a^x\ln a-a{x}^{a-1}}{1}=a^a(\ln a-1)$. Другий спосіб — додати і відняти в чисельнику $a^a$ і двічі застосувати теорему Лагранжа, до функцій $a^x$ і $x^a$ відповідно:

$\frac{a^x-x^a}{x-a}=\frac{a^x-a^a-(x^a-a^a)}{x-a}=\frac{a^c\ln a(x-a)-a{d}^{a-1}(x-a)}{x-a}=a^c\ln a-a{d}^{a-1}$

тут c, d лежать між a і x, тому вони прямують до a при x, що прямує до a, звідси отримуємо ту ж границю, що й у першому способі.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр