Теорія акустики

Теорія акустики - це наукова область, яка стосується опису звукових хвиль . Це походить від динаміки рідини . Дивіться також акустику для інженерного підходу.

Для звукових хвиль будь-якої величини порушення швидкості, тиску та щільності ми маємо

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯+\mathrm{\nabla }\cdot ({\rho }^{\prime }𝐯)& =0\text{(Збереження масси)}\\ ({\rho }_0+{\rho }^{\prime })\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\text{(Рівняння руху)}\end{array}$

У випадку, коли коливання швидкості, щільності та тиску невеликі, ми можемо наблизити їх як

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =0\\ \frac{\partial 𝐯}{\partial t}+\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Де $𝐯(𝐱,t)$ - збурена швидкість рідини, $p_0$ - тиск рідини в спокої, $p^{\prime }(𝐱,t)$ - збурений тиск системи як функція простору та часу, ${\rho }_0$ - щільність рідини в спокої, і ${\rho }^{\prime }(𝐱,t)$ - дисперсія щільності рідини в просторі та в часі.

У випадку, коли швидкість є ірротаційною ( $\mathrm{\nabla }\times 𝐯=0$ ), ми маємо рівняння акустичної хвилі, яке описує систему:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$

Де ми маємо

$\begin{array}{cc}𝐯& =-\mathrm{\nabla }\varphi \\ c^2& =(\frac{\partial p}{\partial \rho }{)}_s\\ p^{\prime }& ={\rho }_0\frac{\partial \varphi }{\partial t}\\ {\rho }^{\prime }& =\frac{{\rho }_0}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}\end{array}$

Виведення для середовища в стані спокою

Починаючи з рівняння безперервності та рівняння Ейлера:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \rho 𝐯& =0\\ \rho \frac{\partial 𝐯}{\partial t}+\rho (𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\mathrm{\nabla }p& =0\end{array}$

Якщо взяти невеликі збурення постійного тиску та щільності:

$\begin{array}{cc}\rho & ={\rho }_0+{\rho }^{\prime }\\ p& =p_0+p^{\prime }\end{array}$

Тоді рівняння системи такі

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial t}({\rho }_0+{\rho }^{\prime })+\mathrm{\nabla }\cdot ({\rho }_0+{\rho }^{\prime })𝐯& =0\\ ({\rho }_0+{\rho }^{\prime })\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\mathrm{\nabla }(p_0+p^{\prime })& =0\end{array}$

Зауважуючи, що рівноважний тиск і щільність постійні, це спрощує до

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯+\mathrm{\nabla }\cdot {\rho }^{\prime }𝐯& =0\\ ({\rho }_0+{\rho }^{\prime })\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Рухоме середовище

Починаючи з

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐰+\mathrm{\nabla }\cdot {\rho }^{\prime }𝐰& =0\\ ({\rho }_0+{\rho }^{\prime })\frac{\partial 𝐰}{\partial t}+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐰\cdot \mathrm{\nabla })𝐰+\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Ми можемо змусити ці рівняння працювати для рухомого середовища, встановивши $𝐰=𝐮+𝐯$, де $𝐮$ - постійна швидкість, з якою рухається вся рідина до того, як її збурить (еквівалентно рухомому спостерігачу) і $𝐯$ - швидкість рідини.

У цьому випадку рівняння виглядають дуже схожими:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }{\rho }^{\prime }+\mathrm{\nabla }\cdot {\rho }^{\prime }𝐯& =0\\ ({\rho }_0+{\rho }^{\prime })\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Зверніть увагу, що при $𝐮=0$ у нас буде рівняння в спокої.

Лінеаризовані хвилі

Починаючи з наведених вище рівнянь руху середовища, що перебуває в спокої:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯+\mathrm{\nabla }\cdot {\rho }^{\prime }𝐯& =0\\ ({\rho }_0+{\rho }^{\prime })\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Давайте зараз візьмемо $𝐯,{\rho }^{\prime },p^{\prime }$ щоб усі мали невеликі кількості.

У тому випадку, якщо ми зберігаємо доданки до першого порядку, для рівняння неперервності маємо ${\rho }^{\prime }𝐯$ термін дорівнює 0. Це аналогічно стосується збурення щільності, помноженого на похідну від часу швидкості. Більше того, просторові компоненти похідного матеріалу дорівнюють 0. Таким чином, ми, переставляючи рівноважну щільність:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =0\\ \frac{\partial 𝐯}{\partial t}+\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Далі, враховуючи, що наша звукова хвиля виникає в ідеальній рідині, рух є адіабатичним, і тоді ми можемо пов’язати малу зміну тиску з малою зміною щільності

$p^{\prime }=(\frac{\partial p}{\partial {\rho }_0}{)}_s{\rho }^{\prime }$

За цієї умови ми бачимо, що зараз маємо

$\begin{array}{cc}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0(\frac{\partial p}{\partial {\rho }_0}{)}_s\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =0\\ \frac{\partial 𝐯}{\partial t}+\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Визначення швидкості звуку системи:

$c\equiv \sqrt{(\frac{\partial p}{\partial {\rho }_0}{)}_s}$

Все стає

$\begin{array}{cc}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0{c}^2\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =0\\ \frac{\partial 𝐯}{\partial t}+\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Для ірротаційних рідин

У тому випадку, якщо рідина є ірротаційною, тобто $\mathrm{\nabla }\times 𝐯=0$, тоді ми можемо писати $𝐯=-\mathrm{\nabla }\varphi$ і таким чином запишемо наші рівняння руху як

$\begin{array}{cc}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial t}-{\rho }_0{c}^2{\mathrm{\nabla }}^2\varphi & =0\\ -\mathrm{\nabla }\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Друге рівняння показує

$p^{\prime }={\rho }_0\frac{\partial \varphi }{\partial t}$

І використання цього рівняння у рівнянні безперервності, говорить нам про таке

${\rho }_0\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t}-{\rho }_0{c}^2{\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$

Це спрощує до

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$

Таким чином, потенціал швидкості $\varphi$ підкоряється хвильовому рівнянню в межі малих збурень. Граничні умови, необхідні для вирішення потенціалу, походять від того, що швидкість рідини повинна бути 0 нормальною до нерухомих поверхонь системи.

Беручи похідну від часу цього хвильового рівняння і помножуючи всі сторони на не збурену щільність, а потім використовуючи той факт, що $p^{\prime }={\rho }_0\frac{\partial \varphi }{\partial t}$ говорить нам те

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2{p}^{\prime }=0$

Так само ми це бачили $p^{\prime }=(\frac{\partial p}{\partial {\rho }_0}{)}_s{\rho }^{\prime }=c^2{\rho }^{\prime }$ . Таким чином, ми можемо помножити вищевказане рівняння і побачити, що

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{\rho }^{\prime }}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2{\rho }^{\prime }=0$

Таким чином, потенціал швидкості, тиск і щільність підкоряються хвильовому рівнянню. Більше того, нам потрібно вирішити лише одне таке рівняння, щоб визначити всі інші три. Зокрема, ми маємо

$\begin{array}{cc}𝐯& =-\mathrm{\nabla }\varphi \\ p^{\prime }& ={\rho }_0\frac{\partial \varphi }{\partial t}\\ {\rho }^{\prime }& =\frac{{\rho }_0}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}\end{array}$

Для рухомого середовища

Знову ж таки, ми можемо вивести межу малого збурення для звукових хвиль в рухомому середовищі. І знову, починаючи з

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }{\rho }^{\prime }+\mathrm{\nabla }\cdot {\rho }^{\prime }𝐯& =0\\ ({\rho }_0+{\rho }^{\prime })\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+({\rho }_0+{\rho }^{\prime })(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Ми можемо лінеаризувати їх у

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }{\rho }^{\prime }& =0\\ \frac{\partial 𝐯}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Для ірротаційних рідин у рухомому середовищі

Враховуючи, що ми це бачили

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }{\rho }^{\prime }& =0\\ \frac{\partial 𝐯}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Якщо ми зробимо попередні припущення про те, що рідина ідеальна, а швидкість ірраторна, ми маємо

$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }& =(\frac{\partial p}{\partial {\rho }_0}{)}_s{\rho }^{\prime }=c^2{\rho }^{\prime }\\ 𝐯& =-\mathrm{\nabla }\varphi \end{array}$

За цих припущень, наші лінеаризовані рівняння звуку стають

$\begin{array}{cc}\frac{1}{c^2}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial t}-{\rho }_0{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\frac{1}{c^2}𝐮\cdot \mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\\ -\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\varphi )-(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })[\mathrm{\nabla }\varphi ]+\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }& =0\end{array}$

Що важливо, оскільки $𝐮$ є константою, ми маємо $(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })[\mathrm{\nabla }\varphi ]=\mathrm{\nabla }[(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\varphi ]$, а друге рівняння говорить нам про те, що

$\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }{p}^{\prime }=\mathrm{\nabla }[\frac{\partial \varphi }{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\varphi ]$

Або просто так

$p^{\prime }={\rho }_0[\frac{\partial \varphi }{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\varphi ]$

Тепер, коли ми використовуємо це відношення з тим, що $\frac{1}{c^2}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial t}-{\rho }_0{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\frac{1}{c^2}𝐮\cdot \mathrm{\nabla }{p}^{\prime }=0$, ми периходимо до

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}[(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\varphi ]+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}(𝐮\cdot \mathrm{\nabla }\varphi )+\frac{1}{c^2}𝐮\cdot \mathrm{\nabla }[(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\varphi ]=0$

Ми можемо написати це у звичній формі як

$[\frac{1}{c^2}(\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }{)}^2-{\mathrm{\nabla }}^2]\varphi =0$

Це диференціальне рівняння має вирішуватися з відповідними граничними умовами. Зверніть увагу, при $𝐮=0$ ми маємо хвильове рівняння. Незважаючи на це, після вирішення цього рівняння для рухомого середовища ми маємо

$\begin{array}{cc}𝐯& =-\mathrm{\nabla }\varphi \\ p^{\prime }& ={\rho }_0(\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\varphi \\ {\rho }^{\prime }& =\frac{{\rho }_0}{c^2}(\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\varphi \end{array}$

Дивитися також

• Звук
• Фур’є-аналіз

Список літератури

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book