Динамічне моделювання

Моделювання динамічних систем — це моделювання поведінки динамічної системи в будь-який довільний змінний момент часу. Модель, як правило, описується системою звичайних диференціальних рівнянь, аргументом яких є час. Така система відображає реальний об'єкт лише з деяким наближенням, яке може бути задовільним або незадовільним для певного дослідження.Тривіальним прикладом об'єкта, описаного за допомогою диференціальних рівнянь, може бути басейн, який заповнюється водою з труб.
Також при моделюванні динамічних систем використовують різницеві рівняння й системи рівнянь у випадку, коли зміна процесу відбувається стрибкоподібно, або дискретно. Такі динамічні процеси зустрічаються в онкології, динаміці популяцій, економіці, банківській справі.
Процес створення математичної моделі динамічної системи містить три основні частини:

• Емпірична;
• Теоретична;
• Математична.

В емпіричній частині зібрані дані, які були отримані зі спостережень та експериментів з ціллю дослідження об'єкта. Емпіричні закономірності та явища об'єднуються у теоретичній частині за допомогою розвитку основних концепцій. У математичній частині конструюються моделі для перевірки основних математичних концепцій. На цьому етапі відбувається процес обробки експериментальних даних, планування експериментів та спостережень.
Важлива перевага методів моделювання динамічних систем полягає в тому, що вони дозволяють різко скоротити обсяг і масштаби натурних експериментів.

Еквівалентні перетворення динамічних систем

В задачах моделювання важливим пунктом є аналіз властивостей і специфіки чисельної реалізації. Часто ми отримуємо представлення моделі, виходячи з її фізичних властивостей. Таке подання не завжди є зручним для чисельних експериментів. В моделюванні динамічних систем використовуються методи еквівалетного перетворення, а саме: перетворення диференціального рівняння $n$-го порядку до системи диференціальних рівнянь 1-го порядку, перетворення диференціальних моделей в інтегральні моделі, перетворення інтегральної моделі Вольтерра другого роду з ядром, що розділяється в диференціальну модель.
Методи еквівалентного перетворення диференціальних моделей в інтегральні моделі включають у себе:

• метод перетворення з розщепленням;
• метод послідовного інтегрування;
• метод старшої похідної.

Метод перетворення з розщепленням

Нехай подано звичайне диференціальне рівняння, що описує модель динамічного типу таким чином:
$D[y]=y^{(n)}(x)+\sum _{i=1}^n{a}_i{y}^{(n-1)}(x)=f(x),y^{(i)}(0)=C_i,i=\overline{0,n-1,}$
або в операторній формі
$D[y]=f.$
Для отримання ряду еквівалентних залежностей, що містять інтегральний оператор, застосовують прийом, що базується на різноманітних розщепленнях вихідного диференціального оператора. Дійсно, розщіплюючи оператор $D$ з використанням суми двох операторів $D=D_1+D_2,$ отримуємо диференціальне рівняння
$D[y]=\psi ,$
де $\psi (x)=f(x)-D_2(y).$ Отже, отримаємо розв'язок $y=D_1^{-1}[\psi ].$
Розглянемо даний метод детальніше на прикладі рівняння, яке запишемо у вигляді:
$y^{(n)}(x)+\sum _{i=1}^n{a}_i{y}^{(n-1)}(x)=f(x)-\sum _{i=m+1}^n{a}_i{y}^{(n-1)}(x).$
Після заміни змінних $u(x)=y^{(n-m)}(x),\dot{u}(x)=y^{(n-m+1)}(x),...,u^{(m)}(x)=y^{(n)}(x)$ отримаємо рівняння $m$-го порядку:
$u^m(x)+\sum _{i=1}^m{a}_i{u}^{(n-1)}(x)=\psi (x)$,
де $\psi (x)=f(x)-\sum _{i=m+1}^n{a}_i{y}^{(n-i)}(x).$ Коли ми перейдемо до еквівалентної системи диференціальних рівнянь і використаємо фундаментальний розв'язок стосовно канонічної системи диференціальних рівнянь, отримуємо рівняння з ядром експоненціального виду:
$u(x)=e^{At}{u}_0+\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{As}\mathrm{\Phi }(a,u,s)ds,$
де $u(x)=[\dot{u}(x),\ddot{u}(x),\dots ,u^m(x)],u_0(x)=[\dot{u}(0),\ddot{u}(0),\dots ,u^m(0)],\mathrm{\Phi }=(a,u,s)=[0,0,\dots ,\psi (x)].$
Матриця $A$ порядку $m$ матиме вигляд:

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ -a_m& -a_{m-1}& \dots & -a_1\end{array}\right).$

Врахуємо залежність $y(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\dots \underset{0}{\overset{x}{\int }}u(s)ds=\frac{1}{(n-m-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-s{)}^{n-m-1}u(s)ds$. Тоді, легко бачити, що еквівалентне перетворення відбувається шляхом зміни значення $m\in \overline{1,n.}$

Метод послідовного інтегрування

Нехай у методі перетворення з розщепленням зробимо заміну $m=n$. Тоді розщеплення оператора $D$ зводиться до розв'язання вихідного рівняння відносно старшої похідної. При цьому, розв'язок рівняння полягає у послідовному $n$-кратному інтегруванні, в результаті якого отримаємо інтегральне рівняння виду:
$y(x)+\underset{0}{\overset{x}{\int }}K(x-s)y(s)ds=F(x),$
де
$K(x-s)=\sum _{i=1}^n{q}_i\frac{(x-s{)}^{i-1}}{(i-1)!},$
$F(x)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{(x-s{)}^{n-1}}{(n-1)!}f(s)ds+\sum _{i=0}^{n-1}{C}_i\frac{x^i}{i!}+C_0\sum _{i=1}^{n-1}{q}_i\frac{x^i}{i!}+\dots +C_1\sum _{i=1}^{n-2}{q}_i\frac{x^{i+1}}{(i+1)!}+\dots +C_{n-2}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$.

Лінійні та нелінійні моделі динамічних систем

Лінійні динамічні системи зазвичай описують системами лінійних звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь у частинних похідних і лінійними різницевими та інтегральними рівняннями. Для лінійних моделей точні розв'язки можна знайти в аналітичній формі. Більше того, в деяких випадках, нелінійні процеси апроксимують лінійними.
Нелінійні динамічні системи називаються хаотичними, якщо їхня поведінка є випадковою, попри те, що вона визначається детерміністичними законами.

Опис хаотичних систем за допомогою відображень

Нехай $\delta x(0)$  — нескінченно мала відстань між двома точками у фазовому просторі, які належать різним фазовим траєкторіям у момент часу $t=0$; $\delta x(t)$ — відстань між цими точками у момент часу $t$. Тоді, запишемо наступне:
$|\delta x(t)|\approx |\delta x(0)|\exp (\lambda t)$,
де параметр $\lambda$ називається показником Ляпунова. Якщо $\lambda >0$, тоді дві фазові траєкторії, що виходять з малого околу певної точки простору, з часом розходяться з експоненціальною швидкістю. Із співвідношення $|\delta x(t)|\approx |\delta x(0)|\exp (\lambda t)$ отримаємо формулу для розрахунку показника Ляпунова:
$\lambda =\underset{N\to \mathrm{\infty },\delta x(0)\to 0}{\lim }\frac{1}{t}\ln \left|\frac{\delta x(t)}{\delta x(0)}\right|$.
Цей показник є функцією початкової координати у загальному випадку.
Розгляд хаотичних динамічних систем зручно почати з простих прикладів одновимірних дискретних відображень, які мають вигляд:
$x_{n+1}=f(x_n)$.
Остаточний вигляд формули для розрахунку показника Ляпунова у випадку одновимірного відображення, поданого вище, є таким: $\lambda =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\sum _{i=0}^{N-1}\ln |\dot{f}(x_i)|$.

Приклади

Складання рівнянь руху

Розглянемо сукупність n матеріальних точок. Як відомо, положення точки у просторі визначається її радіус-вектором $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$. Щоб визначити положення системи n матеріальних точок у просторі, треба знати n радіус-векторів або 3n координат. Кількість незалежних величин, що визначають положення системи у просторі, називається кількістю степенів вільності системи. У загальному випадку це можуть бути й недекартові координати (полярні, сферичні тощо).
Наведемо приклад механічної системи з одним степенем вільності. Одним із загальних принципів, що дозволяє побудувати рівняння руху, тобто створити математичну модель функціонування динамічної системи, є принцип найменшої дії (Гамільтона). Згідно із ним кожна механічна система характеризується деякою визначеною функцією $L(q,\dot{q},t)$, де q — узагальнені координати, $\dot{q}$ — узагальнена швидкість, t — момент часу.

Динаміка популяцій

Наведемо приклад популяції, яка є ізольованою. Популяцією є сукупність індивідів, що можуть давати потомство й піддаються впливу однакових внутрішніх і зовнішніх факторів. Припустимо, що ареал їх проживання обмежений. Основним припущенням, що використовується при побудові математичних моделей динаміки зміни чисельності популяцій, є балансове співвідношення між різними групами у структурі популяцій під впливом факторів різної природи.
Одним з найпростіших прикладів таких моделей є робота Томаса Мальтуса «Досвід закону про народонаселення» (1797). Автор вплинув на формування концепції Чарльза Дарвіна про розуміння природного відбору як рушійної сили еволюції. У цій роботі модель мала вигляд звичайного скалярного лінійного диференціального рівняння зі сталим коефіцієнтом $\dot{x}(t)=kx(t),x(0)=x_0>0$, де $x(t)$ — чисельність популяції в момент t, k  — інтенсивність народжуваності (смертності). Розв'язок рівняння має вигляд:$x(t)=x_0{e}^{kt},t\ge 0$.