Теорема Мікеля

Малюнок, на якому зображено три кола, що проходять через вершини трикутника $ABC$ і точки $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ і $C^{\prime }$, які лежать на сусідніх сторонах трикутника, і перетинаються у спільній точці M.

Теорема Мікеля для різних видів трикутників

Теорема Мікеля — твердження в планіметрії, пов'язане з перетином трьох кіл, кожне з яких проходить через вершину трикутника і дві точки на прилеглих до неї сторонах. Названо на честь французького математика Шаблон:Не перекладеноШаблон:Sfnp. Ця теорема — один з декількох отриманих Мікелем результатів, що стосуються кіл у геометрії, і опублікованих ним у Шаблон:Нп.

Формулювання

Нехай $ABC$ — трикутник із довільними точками $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ і $C^{\prime }$ на сторонах $BC$, $AC$ і $AB$ відповідно (або на їх продовженнях). Опишемо три кола навколо трикутників $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $A^{\prime }B{C}^{\prime }$, і $A^{\prime }{B}^{\prime }C.$ Теорема Мікеля стверджує, що ці три кола перетнуться в одній точці $M$, яку називають точкою Мікеля. Окрім того, рівні будуть також кути $\mathrm{\angle }M{A}^{\prime }B,\mathrm{\angle }M{B}^{\prime }C,\mathrm{\angle }M{C}^{\prime }A$ (позначені на малюнку).

Окремий випадок

Якщо точка Мікеля — центр описаного кола трикутника, а діаметри трьох кіл Мікеля дорівнюють радіусу описаного кола трикутника, і кожне з трьох кіл Мікеля проходить через спільну для них точку — центр описаного кола, а також через дві проєкції цього центра на сторони трикутника і через одну з трьох вершин, тоді радіуси трьох кіл Мікеля однакові.

Див. також

• Шаблон:Не перекладено — інший результат Мікеля

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation