Рівняння Баркера

Рівняння Баркера — рівняння, в неявному вигляді, що визначає залежність між положенням небесного тіла (істинною аномалією) і часом, під час руху параболічною орбітоюШаблон:Sfn. Це рівняння широко застосовувалося під час вивчення орбіт кометШаблон:Sfn, орбіти яких мають ексцентриситет близький до одиниці. Нині це рівняння знаходить застосування в астродинаміціШаблон:Sfn

Задача, що приводить до рівняння Баркера

Розв'язок задачі двох тіл дає рівняння траєкторії в полярних координатах у вигляді

$r=\frac{p}{1+e\cos \vartheta }$

де $p$ — параметр орбіти; $e$ — ексцентриситет орбіти; $\vartheta$ — справжня аномалія-кут між радіус-вектором поточного положення тіла і напрямком на перицентр. З іншого боку, справедливий другий закон Кеплера

$r^2\frac{d\vartheta }{dt}=c$

де $c$ — константа площ. Виходячи з цих рівнянь легко отримати інтеграл, що зв'язує час і справжню аномалію в точках $A_0$ і $A_1$ орбіти.

$t_1-t_0=\frac{p^2}{c}\underset{{\vartheta }_0}{\overset{{\vartheta }_1}{\int }}\frac{d\vartheta }{{(1+e\cos \vartheta )}^2}$

До виведення рівняння Кеплера і рівняння Баркера

Спосіб обчислення цього інтеграла залежить від величини ексцентриситету (див. рівняння Кеплера). Для параболічної траєкторії $e=1$, в цьому випадку приходимо до тривіального ланцюжка перетворень

$t_1-t_0=\frac{p^2}{c}\underset{{\vartheta }_0}{\overset{{\vartheta }_1}{\int }}\frac{d\vartheta }{{(1+\cos \vartheta )}^2}=\frac{p^2}{4c}\underset{{\vartheta }_0}{\overset{{\vartheta }_1}{\int }}{(1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{\vartheta }{2})}^{2}d\vartheta =|\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}=z,d\vartheta =\frac{2dz}{1+z^2}|=\frac{p^2}{2c}\underset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_0}{2}}{\overset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_1}{2}}{\int }}(1+z^2)dz=\frac{p^2}{2c}[\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_1}{2}-\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_0}{2}+\frac{1}{3}({\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\vartheta }_1}{2}-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\vartheta }_0}{2})]$

Враховуючи, що параметр орбіти пов'язаний з константою площ

$p=\frac{c^2}{\mu }$

де $\mu$ — гравітаційний параметр центрального тіла, а константа площ, у разі параболічного руху

$c=r_{\pi }{v}_{\pi }=r_{\pi }\sqrt{\frac{2\mu }{r_{\pi }}}$

де $r_{\pi }$ — відстань до перицентра; $v_{\pi }$ — швидкість у перицентрі, яка під час руху по параболі є параболічною швидкістю. Тоді, отримуємо для параметра орбіти $p=2r_{\pi }$ і приходимо до остаточного виразу

$t_1-t_0=r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}[\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_1}{2}-\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_0}{2}+\frac{1}{3}({\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\vartheta }_1}{2}-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\vartheta }_0}{2})]$

Тепер приймемо, що початкова точка траєкторії п ерицентр, значить ${\vartheta }_0=0$ і перетворимо отриману залежність до видгляу

$n(t-t_0)=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}+\frac{1}{3}{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{\vartheta }{2}$

де $n=\sqrt{\frac{\mu }{2r_{\pi }^3}}$ — середній рух небесного тіла. У підсумку, отримуємо кубічне рівняння вигляду

$S+\frac{1}{3}{S}^3-M=0$

де $S=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}$, $M=n(t-t_0)$ — середня аномалія орбіти небесного тіла. Це рівняння називають рівнянням Баркера.

Рівняння описує неявну залежність істинної аномалії від часу $\vartheta (t)$ під час руху небесного тіла параболічною траєкторією.

Розв'язок рівняння Баркера

Рівняння

$S+\frac{S^3}{3}-M=0$

є кубічним рівнянням, записаним у канонічній формі Кардано і має аналітичний розв'язок. Засобами комп'ютерної алгебри легко отримати цей розв'язок, що містить один дійсний і два комплексно-спряжених корені

$S_1=x-\frac{1}{x},S_{2,3}=-\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(x+\frac{1}{x})$

де $x=\frac{1}{2}\sqrt[3]{12M+4\sqrt{9M^2+4}}$

Фізичному змісту задачі відповідає тільки дійсний корінь, тому можна записати

$S=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}=x-\frac{1}{x}$

Маючи цей корінь, можна обчислити синус і косинус істинної аномалії

$\cos \vartheta =\frac{1-S^2}{1+S^2},\sin \vartheta =\frac{2S}{1+S^2}$

за якими, з урахуванням їхнього знака, визначається справжня аномалія $\vartheta \in [0,2\pi )$

Див. також

• Рівняння Кеплера
• Закони Кеплера
• Задача двох тіл

Література

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга