Гомологічна сфера

Гомологічна сфера — n-вимірний многовид X з гомологіями як у n-вимірної сфери. Тобто

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z), і

H_i(X,Z) = {0} за всіх інших i.

Приклади

• Сфера Пуанкаре
• Сфери Бріскорна Σ(p, q, r), тобто перетин малої 5-вимірної сфери з розв'язком рівняння x^p + y^q + z^r = 0 в ${ℂ}^3$ за взаємно простих p, q і r. Вони є гомологічними сферами. При цьому Σ(1, 1, 1) гомеоморфне стандартній сфері, а Σ(2, 3, 5) сфері Пуанкаре. Якщо $1/p+1/q+1/r\le 1$, то універсальне накриття Σ(p, q, r) гомеоморфне евклідовому простору,

Властивості

• Гомологічна сфера зв'язна.
• Фундаментальна група $\mathrm{\Gamma }$ гомологічної сфери збігається зі своїм комутатором.
• Нехай $n⩾5$. Група $\mathrm{\Gamma }$ є групою якоїсь n-вимірної гомологічної сфери тоді й лише тоді, коли:
  1. $\mathrm{\Gamma }$ скінченно задана;
  2. $H_1(\mathrm{\Gamma })=0$;
  3. $H_2(\mathrm{\Gamma })=0$.
• Група $\mathrm{\Gamma }$ є групою якоїсь 4-вимірної гомологічної сфери, якщо
  1. $\mathrm{\Gamma }$ задана рівним числом твірних і співвідношень, і
  2. $H_1(\mathrm{\Gamma })=0$.
  • Невідомо, чи істинне зворотне.
• Зв'язна сума двох гомологічних сфер — це гомологічна сфера.
• Згідно з узагальненою гіпотезою Пуанкаре, однозв'язна гомологічна сфера гомеоморфна стандартній сфері.

Варіації та узагальнення

• Раціонально гомологічна сфера визначається аналогічно, але з використанням гомологій з раціональними коефіцієнтами.

Див. також

• Сфера Пуанкаре
• Многовид Бріскорна