Ґамма/Ґомперц розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей У теорії ймовірності та статистиці, ґамма розподіл Ґомперца або розподіл ґамма/Ґомперц — це неперервний розподіл ймовірності. Його використовують для моделювання сукупної тривалости життя клієнтів та при моделюванні смертності.

Специфікація

Функція щільности розподілу ґамма/Ґомперца:

f (x; b, s, β) = \frac{b s e^{b x} β^{s}}{{(β - 1 + e^{b x})}^{s + 1}}

де $b > 0$ - параметр масштабу та $β, s > 0$ - параметри форми розподілу ґамма/Ґомперца.

\begin{matrix} F (x; b, s, β) & = 1 - \frac{β^{s}}{{(β - 1 + e^{b x})}^{s}}, x > 0, b, s, β > 0 \\ = 1 - e^{- b s x}, β = 1 \end{matrix}

Твірна функція моментів, задається:

\begin{matrix} E (e^{- t x}) = {\begin{matrix} β^{s} \frac{s b}{t + s b}_{2} F_{1} (s + 1, (t / b) + s; (t / b) + s + 1; 1 - β), & β \neq 1; \\ \frac{s b}{t + s b}, & β = 1 . \end{matrix} \end{matrix}

де $_{2} F_{1} (a, b; c; z) = \sum_{k = 0}^{\infty} [(a)_{k} (b)_{k} / (c)_{k}] z^{k} / k!$ — гіпергеометрична функція.

Розподіл ґамма/Ґомперца доволі гнучкий розподіл, якому можна надавати перекосів вправо чи вліво.

Коли β = 1, розподіл перетворюється на експоненціальний розподіл з параметром sb.
Гамма-розподіл є природним апріорним спряженням до правдоподібності Ґомперца з відомими параметрам масштабу $b$ ^[1]
Коли параметр форми $η$ розподілу Ґомперца змінюється за законом ґамма-розподілу з параметром форми $α$ і параметром масштабу $β$ (середнє = $α / β$ ), тоді $X$ розподілена за ґамма/Ґомперцом^[1].

↑ ^1,0 ^1,1 Помилка цитування: Неправильний виклик тегу <ref>: для виносок під назвою BG не вказано текст