Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел

Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел — теорема, яка встановлює, що алгебричні ірраціональності не можуть занадто добре наближатися раціональними числами. А саме: якщо $\alpha$ — алгебричне число степеня $n>1$, а $p$ та $q$ — будь-які цілі числа $(q\ne 0)$, то виконується нерівність

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{C}{q^n}$

де $C$ — додатна константа, що залежить тільки від $\alpha$ і виражається в явному вигляді через пов'язані з $\alpha$ величини.

За допомогою цієї теореми Ліувілль побудував перші приклади трансцендентних чисел. Таким числом є, наприклад, число, що подається рядом зі швидко спадними членами, наприклад

$\xi =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n!}}.$

Узагальнення

При $n=2$ теорема Ліувілля дає непокращуваний результат. Для $n\ge 3$ теорема Ліувілля неодноразово посилювалася.

1909 року Туе встановив, що для алгебричних чисел $\alpha$ степеня $n$ і $\nu >\frac{n}{2}+1$ виконується нерівність

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{C}{q^{\nu }}$    (*)

Зігель поліпшив результат Туе, показавши, що остання нерівність виконується при

$\nu >\underset{s=\{1,2,\dots ,n-1\}}{\min }(\frac{n}{s+1}+s)$, де $s$ — ціле, зокрема, при $\nu >2\sqrt{n}$. Пізніше Ф. Дайсон довів справедливість цієї нерівності при $\nu >\sqrt{2n}$. Нарешті, К. Рот встановив, що нерівність (*) виконується при будь-якому $\nu >2$. Результат К. Рота є найкращим у своєму роді, оскільки будь-яке ірраціональне число $\xi$, алгебричне чи ні, має нескінченно багато раціональних наближень $p/q$, що задовольняють нерівності

$|\xi -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}$.

Всі зазначені вище посилення теореми Ліувілля мають один суттєвий недолік — вони неефективні, а саме: методи їх доведення не дозволяють установити, як саме стала $C=C(\alpha ,\nu )$ в нерівності залежить від величин $\alpha$ і $\nu$.

Див. також

• Число Ліувілля
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа Ліувілля

Посилання

• Michael Filaseta. The Beginning of Numbers Transcendental