Теорема про зовнішній кут трикутника

$\mathrm{\angle }4=\mathrm{\angle }1+\mathrm{\angle }2$ або $\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }CAB+\mathrm{\angle }ACB$

Теорема про зовнішній кут трикутника — це твердження про властивість зовнішнього кута трикутника, за яким зовнішній суміжний кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

Формулювання

Скористаємося позначеннями на рисунку праворуч. Тоді $\mathrm{\angle }CBD$ або $\mathrm{\angle }4$ — зовнішній кут $△ABC$ при вершині В.

$\mathrm{\angle }4=\mathrm{\angle }1+\mathrm{\angle }2$

або

$\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }CAB+\mathrm{\angle }ACB$

Доведення

Доведення теореми за допомогою додаткової побудови прямої, яка паралельна стороні трикутника та проходить через його вершину.

Скористаємося позначеннями на рисунку праворуч. Оскільки, сума кутів трикутника буде 180°:

$\mathrm{\angle }1+\mathrm{\angle }2+\mathrm{\angle }3=180^{\circ }$ ($\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }ACB+\mathrm{\angle }CBA=180^{\circ }$) (1)

Оскільки, кути 3 та 4 — суміжні, то їх сума буде 180°:

$\mathrm{\angle }3+\mathrm{\angle }4=180^{\circ }$ ($\mathrm{\angle }CBA+\mathrm{\angle }CBD=180^{\circ }$) (2)

З рівності 1

$\mathrm{\angle }3=180^{\circ }-(\mathrm{\angle }1+\mathrm{\angle }2)$ або $\mathrm{\angle }CBA=180^{\circ }-(\mathrm{\angle }ACB+\mathrm{\angle }BAC)$

З рівності 2

$\mathrm{\angle }3=180^{\circ }-\mathrm{\angle }4$ або $\mathrm{\angle }CBA=180^{\circ }-\mathrm{\angle }CBD$, звідси $\mathrm{\angle }4=\mathrm{\angle }1+\mathrm{\angle }2$ або $\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }ACB$.

Наслідки

Наслідок 1. Зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній кут, не суміжного з ним.

Наслідок 2. Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation