Циклічний многогранник

Циклі́чний многогра́нник — опуклий многогранник, вершини якого лежать на кривій $t\mapsto (t,t^2,\dots ,t^d)$ в ${ℝ}^d$.

Конструкція

Нехай

$𝐱(t)=(t,t^2,\dots ,t^d)\in {ℝ}^d$

і $t_1<t_2<\dots <t_n$.

Опукла оболонка $n$ точок $𝐱(t_1),𝐱(t_2),\dots ,𝐱(t_n)$ називається $d$-вимірним циклічним многогранником з $n$ вершинами і далі позначається $C(n,d)$.

Властивості

• Критерій Гейла: Нехай $T=\{t_1,t_2,\dots ,t_n\}$, і $T_d\subset T$ — підмножина з $d$ елементів. Гіпергрань у $C(n,d)$ відповідає $T_d$ тоді й лише тоді, коли між будь-якими двома сусідніми числами в $T_d$ лежить парне число чисел $T$.
• Будь-які $\lfloor \frac{d}{2}\rfloor$ вершин $C(n,d)$ утворюють грань.
  • Зокрема, будь-які дві вершини 4-вимірного циклічного многогранника з'єднані ребром.
• Число $i$-вимірних граней у $C(n,d)$ при $0\le i<\lfloor \frac{d}{2}\rfloor$ дорівнює $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i+1})$.
  • Використовуючи тотожності Дена — Сомервіля, можна знайти число граней старших розмірностей.
  • Для будь-якого $k$ серед усіх $d$-вимірних многогранників з $n$ вершинами циклічні многогранники мають найбільше число $k$-вимірних граней.

Література

• Шаблон:Книга