Сигнатура (лінійна алгебра)

Сигнату́ра — числова характеристика квадратичної форми або псевдоевклідового простору, в якому скалярний добуток задано за допомогою відповідної квадратичної форми.

Визначення

Кожна квадратична форма з дійсними коефіцієнтами може бути зведена за допомогою невиродженої лінійної заміни змінних до канонічного вигляду

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_p^2-x_{p+1}^2-x_{p+2}^2-\cdots -x_{p+q}^2.$

Різниця $p-q$ між числом додатних і від'ємних членів у цьому записі називається сигнатурою квадратичної форми. Числа p і q сигнатури не залежать від способів зведення форми до канонічного вигляду (закон інерції Сильвестра).

Сигнатуру квадратичної форми також записують у вигляді пари чисел $(p,q)$ у вигляді $(+\cdots +-\cdots -)$ з відповідним числом плюсів і мінусів.

Приклад

Квадратичну форму від двох змінних $x_1{x}_2$ можна звести до канонічного вигляду ${\tilde{x}}_1^2-{\tilde{x}}_2^2,$, наприклад, за допомогою лінійної заміни змінних $x_1={\tilde{x}}_1+{\tilde{x}}_2,$ $x_2={\tilde{x}}_1-{\tilde{x}}_2.$ Сигнатура цієї квадратичної форми дорівнює нулю або може бути записана у вигляді $(1,1)$ або у вигляді $(+-).$

Див. також

• Псевдоевклідів простір
• Простір Мінковського
• Квадратична форма

Література

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра