Інтегральна ознака Маклорена — Коші

Шаблон:Числення Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду. Ознака дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на $[1,\mathrm{\infty })$. Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.

Начерк доведення

Файл:Инт признак Коши.png

1. Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
2. Площа більшої фігури дорівнює $S_b=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$
3. Площа меншої фігури дорівнює $S_s=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$
4. Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює $S_{tr}=\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx$
5. Отримуємо $S_s⩽S_{tr}⩽S_b\Rightarrow S_n-a_1⩽\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx⩽S_{n-1}$
6. Далі доводиться за допомогою критерію збіжності знакододатних рядів .

Повне доведення

$\mathrm{\forall }b>1$$f(x)$ монотонна на $[1,b]$

отже $\underset{1}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ збігається

$\mathrm{\forall }x\in [n,n+1]$ $f(n)⩾f(x)⩾f(n+1)$

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ $\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(n)dx=f(n)⩾\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx⩾f(n+1)$

$S_n=f(1)+...+f(n)⩾\underset{1}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx⩾S_{n+1}-f(1)$

$S_n$ нестрого монотонно зростає

Позначимо $F(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

границі $S_n$ і $F(x)$ — скінченні числа, отже $S_n$ і $F(x)$ обмежені (ідея)

Нехай збігається інтеграл $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$$\Rightarrow$$F(x)$ обмежена $\Rightarrow$$S_n$ обмежена $\Rightarrow$$\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{S}_n$

Нехай тепер збігається сума $S_n$$\Rightarrow$$\mathrm{\forall }n$$\mathrm{\exists }S⩾S_n$$\Rightarrow$$\mathrm{\forall }n$$S⩾\underset{1}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx⩾\underset{1}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$\Rightarrow$$F(b)$ обмежена $\Rightarrow$$\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{b\to +\mathrm{\infty }}\underset{1}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$, оскільки якщо функція $f(x)$ невід'ємна на деякому півінтервалі $[a,b)$, то для збіжності інтеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$, де $c\in [a,b)$ були обмеженими. Теорему доведено.

Приклади

• $\sum \frac{1}{n}$ розбіжний, оскільки $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$ .
• $\sum \frac{1}{n^2}$ збіжний, оскільки $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=-{\frac{1}{x}|}_1^{\mathrm{\infty }}=1$ .

Оцінка залишку ряду

Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок $r_n$ знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу

$S_n-a_1⩽\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx⩽S_{n-1}$

за допомогою нескладних перетворень отримуємо:

$\underset{n+1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx⩽r_n⩽\underset{n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx⩽a_n+\underset{n+1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ .

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр