Мереживне зачеплення

Шаблон:Нп має два правобічних скручення в першому Шаблон:Нп, три лівобічних скручення в другому і сім лівобічних скручень у третьому.

В теорії вузлів мереживне зачеплення — це особливий вид зачеплення. Мереживні зачеплення, що є також вузлом (тобто зачепленням з однією компонентою), називається мереживним вузлом.

У стандартній проєкції мереживне зачеплення $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ має $p_1$ лівобічних скручень у першому сплетенні, $p_2$ у другому і, в загальному випадку, $p_n$ у n-му.

Мереживне зачеплення можна описати як зачеплення Монтезіноса з цілим числом переплетень.

Деякі базові результати

Мереживне зачеплення $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ є вузлом тоді і тільки тоді, коли і $n$, і всі $p_i$ є непарними або рівно одне з чисел $p_i$ парнеШаблон:Sfn.

Мереживне зачеплення $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ є Шаблон:Нп, якщо щонайменше два $p_i$ рівні нулю. Однак обернене твердження хибне.

Мереживне зачеплення $(-p_1,-p_2,\dots ,-p_n)$ є відбиттям мереживного зачеплення $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$.

Мереживне зачеплення $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ еквівалентне (тобто гомотопічно еквівалентне на S³) мереживному зачепленню $(p_2,p_3,\dots ,p_n,p_1)$. Тоді, також, мереживне зачеплення $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ еквівалентне мереживному зачепленню $(p_k,p_{k+1},\dots ,p_n,p_1,p_2,\dots ,p_{k-1})$Шаблон:Sfn.

Мереживне зачеплення $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ еквівалентне мереживному зачепленню $(p_n,p_{n-1},\dots ,p_2,p_1)$. Однак якщо орієнтувати зачеплення в канонічному вигляді, ці два зачеплення мають протилежну орієнтацію.

Приклади

Трилисник

Мереживний вузол (1, 1, 1) — це (правобічний) трилисник, а вузол (-1, -1, -1) є його дзеркальним відбиттям.

Стивідорний
вузол

Мереживний вузол (5, -1, -1) — це стивідорний вузол (6₁).

Якщо p, q і r є різними непарними числами, більшими від 1, то мереживний вузол (p, q, r) є необоротним.

Мереживне зачеплення (2p, 2q, 2r) — це зачеплення, утворене трьома пов'язаними тривіальними вузлами.

Мереживний вузол (-3, 0, -3) (прямий вузол) є зв'язною сумою двох трилисників.

Мереживне зачеплення (0, q, 0) — це розвідне зачеплення тривіального вузла з іншим вузлом.

Зачеплення Монтесіноса

Зачеплення Монтесіноса. У цьому прикладі $e=-3$, ${\alpha }_1/{\beta }_1=-3/2$ і ${\alpha }_2/{\beta }_2=5/2$ .

Зачеплення Монтесіноса — це особливий вид зачеплення, що узагальнює мереживні зачеплення (мереживне зачеплення можна вважати зачепленням Монтесіноса з цілими переплетеннями). Зачеплення Монтесіноса, що є також вузлом (тобто, зачепленням з однією компонентою), є вузлом Монтесіноса.

Зачеплення Монтесіноса складається з декількох раціональних сплетень. Одним з позначень зачеплення Монтесіноса є $K(e;{\alpha }_1/{\beta }_1,{\alpha }_2/{\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n/{\beta }_n)$ Шаблон:Sfn.

В цих позначеннях $e$ і всі ${\alpha }_i$ і ${\beta }_i$ є цілими числами. Зачеплення Монтесіноса, задане таким позначенням, складається з суми раціональних сплетень, заданих цілим числом $e$, і раціональних сплетень ${\alpha }_1/{\beta }_1,{\alpha }_2/{\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n/{\beta }_n$

Використання

Їстівний мереживний вузол (-2,3,7)

Мереживні зачеплення (-2, 3, 2n + 1) особливо корисні для вивчення Шаблон:Нп. Зокрема, для цих многовидів багато результатів встановлено на основі Шаблон:Нп на мереживному вузлі (−2,3,7).

Гіперболічний об'єм доповнення мереживного зачеплення Шаблон:Math дорівнює збільшеній в 4 рази сталій Каталана, приблизно Шаблон:Num. Це мереживне зачеплення є одним з двох гіперболічних многовидів з двома каспами з мінімальними можливими об'ємами, другий многовид є доповненням зачеплення ВайтгедаШаблон:Ref.

Література

• Шаблон:Статья

Література для подальшого читання

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру