Гіпотези Тета
Шаблон:Не плутати Гіпотези Тета — це три гіпотези, висловлені математиком 19-ого століття Пітером Гатрі Тетом під час Шаблон:НпШаблон:Sfn. Гіпотези Тета оперують концепціями з теорії вузлів, такими як альтерновані вузли, хіральність і число закрученості. Всі гіпотези Тета доведено, останньою була гіпотеза про перевертання.
Передумови
Тет прийшов до своїх гіпотез у кінці XIX століття після спроб Шаблон:Нп всі вузли. Як у засновника теорії вузлів, його робота не мала суворого математичного обґрунтування, і не зовсім зрозуміло, поширював він свої гіпотези на всі вузли, чи тільки на альтерновані. Виявилося, що більшість із них правильні тільки для альтернованих вузлівШаблон:Sfn. У гіпотезах Тета діаграма вузла називається «скороченою», якщо всі «перешийки» або «тривіальні перехрещення» вилучено.
Число перетинів альтернованих вузлів
Тет припустив, що за деяких обставин число перетинів є інваріантом вузла, зокрема:
Будь-яка скорочена діаграма альтернованого зачеплення має найменшу можливу кількість перетинів
Іншими словами, число перетинів скороченого альтернованого зачеплення є інваріантом вузла. Цю гіпотезу довели Луїс Кауфман, Куніо Мурасугі (村杉邦男) і Морвен Б. Тістлетвейт у 1987 за допомогою многочлена ДжонсаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Геометричне доведення, що не використовує многочленів вузла, дав 2017 року Джошуа Грін (Joshua Greene)Шаблон:Sfn.
Число закрученості й хіральність
Друга гіпотеза Тета:
Амфіхіральне (або ахіральне) альтерноване зачеплення має нульове число закрученості.
Цю гіпотезу також довели Кауфман і ТістлетвейтШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Перевертання
Гіпотезу Тета про перевертання можна сформулювати так:
Якщо дано дві скорочені альтерновані діаграми
і
орієнтованого простого альтернованого зачеплення, просте альтерноване зачеплення
можна перетворити на
шляхом послідовності деякого виду операцій, які називаються перевертаннямШаблон:R
Гіпотезу Тета про перевертання довели Тістлетвейт і Вільям Менаско 1991 рокуШаблон:Sfn. З гіпотези Тета про перевертання випливає кілька інших гіпотез Тета:
Будь-які дві скорочені діаграми одного альтернованого вузла мають однакове число закрученості.
Це випливає з того, що перевертання зберігає число закрученості. Цей факт довели раніше Мурасугі і ТістлетвейтШаблон:SfnШаблон:Sfn. Це також випливає з роботи ГрінаШаблон:Sfn. Для неальтернованих вузлів ця гіпотеза не правильна і пара Перко є контрприкладомШаблон:Sfn. З цього результату випливає така гіпотеза:
Альтерновані амфіхіральні вузли мають парне число перетинівШаблон:Sfn.
Це випливає з того, що дзеркальний вузол має протилежне число закрученості. Ця гіпотеза знову правильна тільки для альтернованих вузлів — існує неальтернований амфіхіральний вузол з числом перетинів 15Шаблон:R.