Передбаза топології

У топології передбазою (або підбазою ) для топологічного простору Шаблон:Mvar із топологією Шаблон:Mvar називається підмножина Шаблон:Mvar топології Шаблон:Mvar, яка породжує Шаблон:Mvar, тобто Шаблон:Mvar є найменшою топологією, що містить Шаблон:Mvar.

Означення

Нехай Шаблон:Mvar — топологічний простір із топологією Шаблон:Mvar. Передбазою Шаблон:Mvar називається підмножина Шаблон:Mvar топології Шаблон:Mvar, яка задовольняє еквівалентним умовам:

1. Підмножина Шаблон:Mvar породжує топологію Шаблон:Mvar. Тобто Шаблон:Mvar є найменшою топологією, що містить Шаблон:Mvar: будь-яка топологія Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar, що містить Шаблон:Mvar також містить Шаблон:Mvar.
2. Набір відкритих множин, що складається із усіх скінченних перетинів елементів Шаблон:Mvar, разом із множиною Шаблон:Mvar є базою для Шаблон:Mvar. Іншими словами кожна власна відкрита множина у Шаблон:Mvar є об'єднанням скінченних перетинів елементів Шаблон:Mvar. Тобто для будь-якої точки Шаблон:Mvar у відкритій множині Шаблон:Math є скінченна кількість множин Шаблон:Math із Шаблон:Mvar перетин яких містить точку Шаблон:Mvar і є підмножиною Шаблон:Mvar.

Для будь-якої підмножин Шаблон:Mvar булеана Шаблон:Math існує єдина топологія для якої Шаблон:Mvar є передбазою. Ця топологія є перетином усіх топологій на Шаблон:Mvar, що містять Шаблон:Mvar. Натомість для заданої топології може бути багато різних передбаз.

Іноді в означенні передбази вимагається щоб Шаблон:Mvar було покриттям Шаблон:Mvar.

При цьому означенні дві властивості вище не завжди є еквівалентними. Існують простори Шаблон:Mvar із топологією Шаблон:Mvar, для яких існують підмножини Шаблон:Mvar топології Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є найменшою топологією, що містить Шаблон:Mvar але Шаблон:Mvar не є покриттям Шаблон:Mvar. Проте такі простори є досить екзотичними; наприклад передбаза простору, що має принаймні дві точки і задовольняє аксіому T₁ є покриттям цього простору.

Приклади

• Для звичайної топології дійсних Шаблон:Math усі напівнескінченні відкриті інтервали виду Шаблон:Math або Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є дійсними числами є передбазою. Вони породжують стандартну топологію оскільки перетини Шаблон:Math для Шаблон:Math утворюють базу топології. Іншу передбазу можна отримати якщо взяти підмножину напівнескінченних інтервалів для яких Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є раціональними числами. У цьому випадку відкриті інтервали Шаблон:Math де Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar є раціональними також утворюють базу для стандартної топології.

• Передбаза із напівнескінченних відкритих інтервалів виду Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar є дійсним числом не породжує стандартну топології. Породжена також передбазою топологія не задовольняє аксіому T₁, оскільки всі відкриті множини мають непустий перетин.

• Якщо $X$ є нескінченною множиною, то множина скінченних підмножин, із кількістю елементів $n\ne 0$, тобто

$𝒮:=\{M\subset X||M|=n\}$

є передбазою дискретної топології, тобто топології ${𝒪}_D:=𝒫(X).$

• Ініціальна топологія на Шаблон:Mvar задана сім'єю функцій Шаблон:Math, де всі Шаблон:Mvar є топологічними просторами є найслабшою топологією на Шаблон:Mvar для якої всі Шаблон:Mvar є неперервними. Оскільки неперервність означається за допомогою прообразів відкритих множин то ініціальна топологія на Шаблон:Mvar породжується передбазою елементами якої є Шаблон:Math, для всіх Шаблон:Mvar, що є відкритими підмножинами для всіх Шаблон:Mvar.

• Важливими окремими випадками попереднього прикладу є добуток топологічних просторів, де сім'єю функцій є множина проєкцій із добутку на кожен множник і топологічний підпростір, де сім'я складаються з єдиної функції включення.

• Для компактно-відкритої топології на просторі неперервних функцій із Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar передбазою є, наприклад, множина елементами якої є множини функцій

$V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}$

для різних компактних підмножин Шаблон:Math і відкритих підмножин Шаблон:Math.

Властивості

• За допомогою передбаз можна дати означення неперервності: відображення f : X → Y між топологічними просторами є неперервним тоді і тільки тоді, коли для кожної множини U із передбази A топологічного простору Y, прообраз відображення f⁻¹(U) є відкритою множиною.
• Теорема Александера. Нехай Шаблон:Mvar є топологічним простором із передбазою Шаблон:Mvar. Якщо кожне покриття елементами Шаблон:Mvar має скінченне підпокриття, то простір є компактним.

Див. також

• База топології
• Топологічний простір

Література

• Шаблон:Citation