Числа Сабіта

Числа Сабіта — натуральні числа, які задаються формулою $3 \cdot 2^{n} - 1$ для цілих невід'ємних $n .$

Перші числа Сабіта — це^[1]^[2]

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, \dots

Послідовність названа на честь іракського математика дев'ятого століття Сабіта ібн Курра, що досліджував такі числа.^[3]

Властивості

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, \dots

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 47, 55, 64, 76,

94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134,

7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063,

123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, \dots

Прості числа Сабіта для $n > 164987$ було знайдено в ході розподілених обчислень «321 search».^[4] Найбільше з відомих простих чисел Сабіта ( $3 \cdot 2^{4235414} - 1$ ) має довжину 1274988 знаків і було знайдене Діланом Бенетом (Dylan Bennett) у квітні 2008 року. Попереднім рекордом було число $3 \cdot 2^{3136255} - 1$ , знайдене Полом Андервудом (Paul Underwood) у березні 2007 року.

Якщо і $n,$ і $n - 1$ є числами Сабіта, і якщо $9 \cdot 2^{2 n - 1} - 1$ — просте, то пара дружніх чисел може бути знайдена як

2^{n} (3 \cdot 2^{n - 1} - 1) (3 \cdot 2^{n} - 1)

2^{n} (9 \cdot 2^{2 n - 1} - 1) .

Числа, які можна записати формулою $3 \cdot 2^{n} + 1$ називаються числами Сабіта другого роду.
Перші числа Сабіта другого роду:
$4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, . . .$
Перші прості числа Сабіта другого роду (Шаблон:OEIS):
$7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, . . .$
Перші значення $n$ , за яких $3 \cdot 2^{n} + 1$ прості:
(Шаблон:OEIS). $1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, . . .$