Середнє значення функції

Середнє значення функції — це деяке число між найменшим і найбільшим її значеннями. У диференціальному і інтегральному численні є ряд «теорем про середнє», що встановлюють існування таких точок, в яких функція або її похідна отримує те чи інше середнє значення. Найважливішою теоремою про середнє значення функції в диференціальному численні є теорема Лагранжа (про скінче́нні при́рости): якщо $f(x)$ неперервна на відрізку $[a,b]$ і диференційована в інтервалі $(a,b)$, то існує точка $c$, що належить до інтервалу $(a,b)$, для якої $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(c)$. В інтегральному численні найважливішою теоремою про середнє значення є така: якщо $f(x)$ неперервна на відрізку $[a,b]$, а $\phi (x)$ зберігає один знак, то існує точка $c$ з інтервалу $(a,b)$ для якої:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\phi (x)dx=f(c)\underset{a}{\overset{b}{\int }}\phi (x)dx.$

Зокрема, якщо $\phi (x)=1$, то

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(c)(b-a).$

Внаслідок цього середнє значення функції $f(x)$ на відрізку $[a,b]$ - це величина:

$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Так само визначається середнє значення функції декількох змінних у деякій області.