Лема Лачлана

Рис.1

Коло, яке проходить через точки $ABC$ , дотикається до кола $\omega$ внутрішнім чином тоді і лише тоді, коли $AB\cdot CT+BC\cdot AK=AC\cdot BP$ , де  $AK,BP$ і $CT$відрізки дотичних, проведених з точок $A,B$ і $C$ до кола $\omega$ (рис. 1).

Доведення леми Лачлана

Для доведення даної леми нам знадобиться довести, що якщо два кола з радіусами $R$ та $r$ дотикаються одне до одного внутрішнім способом в точці $M$(рис. 2)

Рис. 2

то для довільної точки $A$ на зовнішньому колі має місце співвідношення $\frac{A^{\prime }M}{AM}=\frac{r}{R}$, де $A^{\prime }$ - точка  перетину прямої $AM$ з внутрішнім колом. Справді, центри кіл $O_1,O_2$  та точка M лежать на одній прямій, тому що в точці $M$ обидва кола мають спільну дотичну. Тому наведене співвідношення випливає з подібності трикутників $A{O}_{2}M$ та $A^{\prime }{O}_{1}M$.

Тепер доведемо лему Лачлана. Нехай два кола, що розглядаються, дотикаються в точці $M$ внутрішнім способом (рис. 12). У цьому випадку, врахувавши співвідношення подібності, що виведене на початку статті, і позначивши $q=\frac{r}{R}$ та застосувавши теорему про січну і дотичну, отримаємо:

$AK=\sqrt{AM\cdot A{A}^{\prime }}=\sqrt{AM(AM-q\cdot AM)}=AM\sqrt{1-q}$

$BP=\sqrt{BM\cdot B{B}^{\prime }}=\sqrt{BM(BM-q\cdot BM)}=BM\sqrt{1-q}$

$CT=\sqrt{CM\cdot C{C}^{\prime }}=\sqrt{CM(CM-q\cdot CM)}=CM\sqrt{1-q}$

Тому:

$AB\cdot CT+BC\cdot AK=AB\cdot CM\sqrt{1-q}+BC\cdot AM\sqrt{1-q}=(AB\cdot CM+BC\cdot AM)\sqrt{1-q}$

Так, як чотирикутник $ABCM$ є вписаним, то застосувавши теорему Полемея отримаємо :

$(Ab\cdot CM+BC\cdot AM)\sqrt{1-q}=AC\cdot BM\sqrt{1-q}=AC\cdot BP$

Доведена умова достатня і необхідна, бо достатню і необхідну умову виражає теорема Птолемея.