Перетворення трикутник-зірка

Перетворення трикутник-зірка — спосіб еквівалентного перетворення пасивної ділянки лінійного електричного кола — «трикутника» (з'єднання трьох гілок, яке має вигляд трикутника, сторонами якого є гілки, а вершинами — вузли), в «зірку» (поєднання трьох гілок, які мають один загальний вузол). Еквівалентність «трикутника» і «зірки» обумовлена тим, що це перетворення ніяк не впливає на струми та напруги в інших, тобто непереворюваних, частинах електричного кола.

Подальші міркування наводяться для резисторів, але можуть бути застосовані й для інших пасивних елементів.

Пряме перетворення

Трикутник

Зірка

Розглянемо наведені справа схеми щодо вузлів 1 та 2.

У схемі «трикутник» резистор $R_{12}$ з'єднаний паралельно з послідовно з'єднаними резисторами $R_{13}$ і $R_{23}$, що відповідає послідовно з'єднаним опорам $R_1$ і $R_2$ в схемі «зірка». Звідси випливає, що:

$R_1+R_2=\frac{R_{12}\cdot (R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

Аналогічно для інших пар вузлів:

$R_1+R_3=\frac{R_{13}\cdot (R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

$R_2+R_3=\frac{R_{23}\cdot (R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

Розв'язуючи подану систему рівнянь щодо опорів $R_1$, $R_2$ і $R_3$, отримуємо:

$R_1=\frac{R_{12}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

$R_2=\frac{R_{12}\cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

$R_3=\frac{R_{23}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$

Зворотне перетворення

Розв'язавши початкову систему рівнянь щодо опорів $R_{12}$, $R_{13}$ і $R_{23}$ отримаємо формули для зворотного перетворення, з «зірки» в «трикутник»:

$R_{12}=R_1+R_2+\frac{R_1\cdot R_2}{R_3}$

$R_{13}=R_1+R_3+\frac{R_1\cdot R_3}{R_2}$

$R_{23}=R_2+R_3+\frac{R_2\cdot R_3}{R_1}$

Застосування

Резисторний міст

Перетворення трикутник-зірка може бути корисним для розрахунку опору резисторного моста при умові:

$\frac{R_1}{R_2}\ne \frac{R_4}{R_3}$

Якщо ж вище наведена рівність справедлива, то схема набуває симетрії — для її розрахунку достатньо стандартних методів (послідовне й паралельне з'єднання).