Розмах (статистика)

Розмах (Шаблон:Lang-en) — в статистиці різниця між найбільшим та найменшим із сукупності числових значеньШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Розмах є однією з найпростіших мір розсіяння (розкиду) набору числових значень. Дає інформацію про ширину інтервалу, в якому зосереджений весь набір числових даних, геометрично — ширина відрізка, в якому розташовуються всі значення.

Простота розрахунку, наочність та інтуїтивна зрозумілість цієї характеристики розсіяння значень є очевидною перевагою перед такими мірами розсіяння як дисперсія та середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення). Істотним недоліком розмаху є те, що він не містить інформацію про характер розподілу результатів в інтервалі розсіяння та не стійкий до викидів, що певною мірою обмежує його використання.

Математичний опис

Математично розмах вибірки

$R=x_{max}-x_{min}$,

де $x_{max},x_{min}$- відповідно максимальне та мінімальне значення із вибірки.

Розподіл ймовірностей

Оскільки розмах розраховується через крайні значення вибірки, які є випадковими величинами, він, як і будь-яка інша статистична характеристика, є випадковою величиною. Нехай $x_1,\dots ,x_n$ — ряд значень вибірки з функцією розподілу $F(x)$ та щільністю ймовірностей $f(x)$. В цьому випадку розмах $R_n$ описується функцією розподілуШаблон:Sfn:

$G\left(\omega \right)=P\{R_n\le \omega \}=n\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[F(\omega +x)-F(x){]}^{n-1}f(x)\mathrm{d}x$.

Розмах та середнє квадратичне відхилення

Якщо значення вибірки розподілені за нормальним законом, то математичне сподівання розмахуШаблон:Sfn

$E\left(R\right)={\alpha }_n\cdot \sigma$,

де $\sigma$ — середнє квадратичне відхилення,

${\alpha }_n$ — деяка функція обсягу вибірки $n$, яка табульована.

Таблиця. Граничні значення коефіцієнту ${\alpha }_n$ в залежності від обсягу вибірки $n$ для ймовірності 0,95Шаблон:Sfn.

$n$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\alpha }_n$	2,77	3,31	3,63	3,86	4,03	4,17	4,29	4,39	4,47

Отже, $E(R/{\alpha }_n)=\sigma$, що демонструє незміщеність оцінки $R/{\alpha }_n$. За невеликих значень $n$ ($n<10$) ця оцінка параметра $\sigma$ має значну ефективність, однак за великих $n$ вона мало ефективна в порівнянні зі статистичною оцінкою середнього квадратичного відхилення $S$ ($S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2}$).

Практичне значення

Залежність $\sigma \approx R/{\alpha }_n$ використовується для отримання незміщеної оцінки середнього квадратичного відхилення у випадку малих вибірок в метрології, під час статистичного контролю якості на виробництві, статистичного керування процесами тощо.

Під час контролю технологічних процесів та контролю стабільності процесів вимірювання в лабораторіях широко використовуються як один із найекономічніших типів контрольних карт Шухарта контрольні карти розмахів.

Завдяки простоті розрахунку, наочності та зрозумілості розмах як міра розсіяння також широко використовується в описовій статистиці.

Див. також

• Розмах показів
• Медіана абсолютних відхилень

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Книга
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru

• Шаблон:Cite journalШаблон:Ref-en