Теорема про структуру оператора з поліноміальними коефіцієнтами

Оператор

$L=a(x,y)\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+2b(x,y)\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}+c(x,y)\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+d(x,y)\frac{\partial }{\partial x}+e(x,y)\frac{\partial }{\partial y}+f(x,y)$

з поліноміальними коефіцієнтами $a(x,y)$, $b(x,y)$, $c(x,y)$, $d(x,y)$, $e(x,y)$, $f(x,y)$ зберігає векторний простір $V_n$ всіх многочленів $P(x,y)$ таких, що $\mathrm{deg}P\le n$ для деякого $n\ge 2$, тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти оператора $L$ мають наступний вигляд:

$a=q_1{x}^4+q_2{x}^{3}y+q_3{x}^2{y}^2+k_1{x}^3+k_2{x}^{2}y+k_{3}x{y}^2+a_1{x}^2+a_{2}xy+a_3{y}^2+a_{4}x+a_{5}y+a_6,$

$b=q_1{x}^{3}y+q_2{x}^2{y}^2+q_{3}x{y}^3+\frac{1}{2}[k_4{x}^3+(k_1+k_5)x^{2}y+(k_2+k_6)x{y}^2+k_3{y}^3]+b_1{x}^2+b_{2}xy+b_3{y}^2+b_{4}x+b_{5}y+b_6,$

$c=q_1{x}^2{y}^2+q_{2}x{y}^3+q_3{y}^4+k_4{x}^{2}y+k_{5}x{y}^2+k_6{y}^3+c_1{x}^2+c_{2}xy+c_3{y}^2+c_{4}x+c_{5}y+c_6,$

$d=(1-n)[2(q_1{x}^3+q_2{x}^{2}y+q_{3}x{y}^2)+k_7{x}^2+(k_2+k_8-k_6)xy+k_3{y}^2]+d_{1}x+d_{2}y+d_3,$

$e=(1-n)[2(q_1{x}^{2}y+q_{2}x{y}^2+q_3{y}^3)+k_4{x}^2+(k_5+k_7-k_1)xy+k_8{y}^2]+e_{1}x+e_{2}y+e_3,$

$f=n(n-1)[q_1{x}^2+q_{2}xy+q_3{y}^2+(k_7-k_1)x+(k_8-k_6)y]+f_1.$

Див. також

• Гамільтоніан
• Теорія груп

Джерела

Соколов В.В., Алгебраические квантовые гамильтонианы на плоскости. Теоретическая и математическая физика, т.184.- 2015.- С.57--70.

Шаблон:Ізольована стаття