Зачеплення (теорія вузлів)

Кільця Борромео
Позначення= L6a4
Число ниток = 3
Довжина коси= 6
Число перетинів= 6
Гіперболічний об'єм= 7.327724753
Клас= гіперболічний

Зачеплення Гопфа, в якому кільця з'єднані стрічкою і є її краями.

Трилисник, зчеплений з колом.

Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми $\mu$ примірників кола в ${ℝ}^3$ або $S^3$ називається зачепленням кратності $\mu$.

Зачеплення кратності $\mu =1$ називається вузлом.

Вузли, складові даного зачеплення, називаються його компонентами.

Шаблон:Нп класи зачеплень називаються типами зачеплень. Зачеплення одного типу називаються еквівалентними.

Зачеплення, що складається з деяких компонент зачеплення $L$, називається його частковим зачепленням.

Кажуть, що зачеплення розпадається (або розщеплюється), якщо два його часткових зачеплення розділені в $S^3$ двовимірною сферою.

Деякі типи зачеплень

• Зачеплення «$0,0,\dots ,0$», що лежить у площині в ${ℝ}^3$, називається тривіальним.
• Зачеплення називається брунновим, якщо розпадається кожне його часткове зачеплення, крім нього самого.
• Найбільш вивчені кусково-лінійні зачеплення. Розгляд гладких або локально плоских топологічних вкладень в ${ℝ}^3$ приводить до теорії, що збігається з кусково-лінійною.
• Крім площини всяке зачеплення можна розташувати на стандартно вкладеній в ${ℝ}^3$ замкненій поверхні. Наприклад, зачеплення можна розташувати на незавузленому торі або кренделі, тоді таке зачеплення буде називатися відповідно торичним, або крендельним.
• Зачеплення, що лежить на межі трубчастого околу вузла називається обмоткою вузла $k$. Зачеплення, яке можна отримати багаторазовим взяттям обмоток, починаючи з тривіального вузла, називається трубчастим, або складним кабельтовим.

Задання зачеплень

Зазвичай зачеплення задаються за допомогою так званих діаграм вузлів і зачеплень. Цей метод тісно пов'язаний з поняттям кіс. Якщо у косі з $2n$ ниток з'єднати вгорі і внизу по $n$ пар сусідніх кінців відрізками, то вийде зачеплення, зване $2n$-сплетінням.

Інший спосіб конструювання зачеплень з кіс полягає в замиканні кіс. Якщо між двома паралельними площинами ${\mathrm{\Pi }}_1$ і ${\mathrm{\Pi }}_2$ в ${ℝ}^3$ взяти $2m$ ортогональних їм відрізків і з'єднати їхні кінці попарно $m$ дугами в ${\mathrm{\Pi }}_1$ і $m$ дугами в ${\mathrm{\Pi }}_2$ без перетинів, то сума всіх дуг і відрізків дасть зачеплення. Зачеплення, що допускає таке подання називається зачепленням з $m$ мостами.

Приклади зачеплень

Зачеплення Гопфа
Позначення= L2a1
Число ниток = 2
Довжина коси= 2
Число перетинів= 2
Коефіцієнт зачеплення= 1
Гіперболічний об'єм= 0
Клас= тор

• Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами Шаблон:Sfn, складається з двох кіл, зачеплених одноразовоШаблон:Sfn і назване на честь Гайнца Гопфа.Шаблон:Sfn

Вузол Соломона
Число ниток = 4
Довжина коси= 8
Число перетинів= 4
Число розплутування =2
ab-нотація =4Шаблон:Sup sub
Гіперболічний об'єм= 0
альтернуючий

• Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням
• Кільця Борромео — це зачеплення, що складається з трьох топологічних кіл, які зчеплені і утворюють бруннове зачеплення (тобто видалення будь-якого кільця призведе до роз'єднання двох кілець). Іншими словами, ніякі два з трьох кілець не зчеплені як в зачепленні Гопфа, проте, всі разом вони зчеплені.

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру.
• Шаблон:Книга-ру.
• Шаблон:Книга-ру.
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика Шаблон:Webarchive // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру.
• Статьи «Теория узлов в конце XX века» Шаблон:Webarchive // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття* Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Стаття
• Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry Шаблон:Webarchive.Шаблон:Ref-en
• Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots.Шаблон:Ref-en
• Birman J.S. Braids, knots and contact structures.Шаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld