Олоїд

Структура олоїда. Показано два 240-градусні кругові сектори і опуклий корпус.

Розгортка олоїда

Олоїд — тривимірний криволінійний геометричний об'єкт, відкритий Павлом Шатцем у 1929 році. Це опуклий корпус скелетної рами, зроблений шляхом розміщення двох пов'язаних конгруентних кіл в перпендикулярних площинах, так що центр кожного кола лежить на іншому колі. Відстань між центрами кіл дорівнює радіусу кола. Одна третина периметра кожного кола лежить всередині опуклого корпусу, тому одна і та ж форма може бути сформована як опукла оболонка двох залишкових кругових дуг, кожна з яких охоплює кут 4π / 3.

Площа поверхні та об'єм

Площа поверхні олоїда обчислюється за формулою:

$A=4\pi r^2$,

що дорівнює площі поверхні сфери рівного радіусу.

Об'єм олоїда в кінцевому вигляді обчислюється за формулою:

$\frac{2}{3}(2E\left(\frac{3}{4}\right)+K\left(\frac{3}{4}\right))r^3$,

де K і E означають повні еліптичні інтреграли першого і другого роду відповідно. Чисельний розрахунок дає:

$V\approx 3.0524184684r^3$

Кінетика

Файл:Oloid in Deutsches Museum 2.webm Під час кочення кожна точка поверхні олоїда торкається до площини, по якій він котиться. На відміну від більшості аксіально-симетричних об'єктів (циліндр, сфера тощо), при коченні по плоскій поверхні його центр мас рухається по траєкторії Шаблон:Нп, а не лінії. При кожному оберті відстань між центром маси олоїда і поверхнею кочення має два мінімуми і два максимуми. Різниця між максимальною і мінімальною висотою визначається формулою:

$\mathrm{\Delta }h=r(\frac{\sqrt{2}}{2}-3\frac{\sqrt{3}}{8})\approx 0.0576r$

де r — радіус дуги олоїда. Оскільки ця різниця досить мала, рух олоїда доволі плавний. У кожній точці під час цього руху кочення олоїд дотикається до площини відрізком прямої. Довжина цього відрізка під час руху залишається незмінною і визначається виразом:

$l=\sqrt{3}r$

Пов'язані форми

<imagemap> File: Comparison_oloid_sphericon_3D.svg|thumb|Порівняння олоїда (ліворуч) і сферикона (праворуч) у SVG зображенні. Клацніть на зображенні для перегляду анімації. default [1] </imagemap>Сферикон — опукла оболонка двох півкіл у перпендикулярних площинах з центрами в одній точці. Його поверхня складається з чотирьох шматків конусів. Він схожий на олоїд і, подібно до нього, є поверхнею, що розгортається, яку можна розгорнути шляхом прокочування. Однак його екватор являє собою квадрат, на відміну від екватора олоїда, який кутів не має.

Посилання

• Rolling oloid, знято Швейцарським науковим центром Technorama, Вінтертур.
• Paper model oloid. Зроби власний олоїд.
• Меш олоїда і код для його генерування.
• Шаблон:Cite web