Теорема Усова про геодезичну

Теорема Усова про геодезичну дає точну оцінку на варіацію повороту геодезичної на графіку опуклою ліпшицевої функції.

Доведено Володимиром Усовим. Доведення використовує лемму Лібермана.

Формулювання

Нехай $\mathrm{\Sigma }\subset {ℝ}^3$ є графіком опуклою ліпшицевої функції $f:{ℝ}^2\to ℝ$ і $\gamma$ є геодезичною на $\mathrm{\Sigma }$. Тоді варіація повороту $\gamma$ не перевищує $2\cdot L$, де $L$ — ліпшицева стала $f$.

Зауваження

• Ця оцінка досягається наприклад для конуса $f=L\cdot \sqrt{x^2+y^2}$. Можна також згладити функцію в околі нуля, отримавши таким чином гладкий приклад з рівністю.

Джерела

• В. В. Усов. «О длине сферического изображения геодезической на выпуклой поверхности.» Сибирский математический журнал 17.1 (1976), с. 233—236