Третя квадратична форма

Шаблон:Без джерел Третя квадратична форма — один із способів описувати кривини поверхні. Зазвичай позначається $𝐈𝐈𝐈$.

Означення

Нехай $S$ позначає Оператор форми гладкої поверхні $\mathrm{\Sigma }$. Окрім того, нехай $𝐮$ і $𝐯$ є елементами дотичного простору $T_p$ в точці $p\in \mathrm{\Sigma }$. Третя фундаментальна форма означається як такий скалярний добуток

$𝐈𝐈𝐈(𝐮,𝐯)=⟨S(𝐮),S(𝐯)⟩.$

Властивості

• Третя квадратична форма не залежить від знака нормалі поверхні. (Це відрізняє її від другої квадратичної форми, яка змінює знак при зміні знаку нормалі)

• Третя квадратична форма виражається через першу і другу квадратичну форма.

  $𝐈𝐈𝐈-2\cdot H\cdot 𝐈𝐈+K\cdot 𝐈=0,$

де $H$ — средня кривина поверхні і $K$ — кривина Гауса поверхні.

• Оскільки оператор форми самосопряжений, для $u,v\in T_p(M)$ ми маємо

  $𝐈𝐈𝐈(u,v)=⟨Su,Sv⟩=⟨u,S^{2}v⟩=⟨S^{2}u,v⟩$.