Тотожність Капеллі

Тотожність Капеллі — аналог матричного співвідношення $d e t (A B) = d e t (A) d e t (B)$ для диференціальних операторів з некомутуючими елементами, пов'язаних з представленням алгебри Лі ${𝔤 𝔩}_{n}$ . Використовується для співвіднесення інваріанта $𝖿$ з інваріантом $Ω 𝖿$ , де $Ω$ — це $Ω$ -процес Келі. Названо за іменем Альфредо Капеллі, який встановив цей результат в 1887 році.

Формулювання

Нехай $x_{i j}$ для $i, j = 1, \dots, n$ — комутуючі змінні і $E$ — поляризаційний оператор:

E_{i j} = \sum_{a = 1}^{n} x_{i a} \frac{\partial}{\partial x_{j a}}

.

Тотожність Капеллі стверджує, що такі диференціальні оператори, виражені як визначники, рівні:

| \begin{matrix} E_{11} + n - 1 & \dots & E_{1, n - 1} & E_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ E_{n - 1, 1} & \dots & E_{n - 1, n - 1} + 1 & E_{n - 1, n} \\ E_{n 1} & \dots & E_{n, n - 1} & E_{n n} + 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} x_{11} & \dots & x_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n 1} & \dots & x_{n n} \end{matrix} | | \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x_{11}} & \dots & \frac{\partial}{\partial x_{1 n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial}{\partial x_{n 1}} & \dots & \frac{\partial}{\partial x_{n n}} \end{matrix} | .

Обидві сторони цієї рівності - диференціальні оператори. Визначник в лівій частині має некомутуючі елементи, і при розкладанні зберігає порядок своїх множників зліва направо. Такий визначник часто називають визначником за стовпцями, так як він може бути отриманий за рахунок розкладання визначника за стовпцями, починаючи з першого стовпчика. Це може бути формально записано як

\det (A) = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) A_{σ (1), 1} A_{σ (2), 2} \dots A_{σ (n), n},

де в добутку першими йдуть елементи з першого стовпчика, потім з другого і так далі. Визначник в другому множнику правої частини рівності є Омега процес Келі, а в першому — визначник Капеллі.

Оператори E_ij можуть бути записані в матричній формі:

E = X D^{t},

де $E, X, D$ — матриці з елементами E_ij, x_ij, $\frac{\partial}{\partial x_{i j}}$ відповідно. Якщо всі елементи в цих матрицях комутують, тоді очевидно $\det (E) = \det (X) \det (D^{t})$ .

Посилання

Шаблон:Ізольована стаття

Тотожність Капеллі

Формулювання

Посилання

Навігаційне меню

Пошук