Біполярна система координат

Біполярна система координат

Біполярна система координат — ортогональна система координат на площині на основі кіл Аполлонія. Криві, що відповідають сталим значенням змінних σ і τ перетинаються під прямими кутами. Координати задаються двома фокусами F₁ та F₂, зазвичай у точках (−a, 0) та (a, 0), відповідно, на осі іксів декартової системи координат.

Геометричний смисл біполярних координат. Кут σ утворений двома фокусами і точкою P, тоді як τ — логарифм відношення відстаней до фокусів. Відповідні кола сталих σ й τ показано червоним і синім, відповідно, вони перетинаються під прямими кутами (фіолетовий прямокутник).

Означення

Зазвичай біполярні координати (σ, τ) визначають як:

$x=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }$

$y=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }$

де σ-координата точки P дорівнює куту $\mathrm{\angle }$ F₁ P F₂, а τ-координата дорівнює натуральному логарифмові відношення відстаней d₁ та d₂ до фокусів

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$

( F₁ та F₂ розташовані в точках (−a, 0) і (a, 0), відповідно.) σ набирає значень від -π/2 до π/2, а τ — від $-\mathrm{\infty }$ до $\mathrm{\infty }$. Можна записати,

$x+iy=ai\cot \left(\frac{\sigma +i\tau }{2}\right)$

Криві сталих σ та τ

Криві сталих σ відповідають неконцентричним колам

$x^2+{(y-a\cot \sigma )}^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\sigma }$

що перетинаються в двох фокусах. Центри кіл сталих σ лежать на осі ігреків. Позитивні σ дають кола з центрами над віссю x, а негативні — нижче ві неї. Зі зростанням значення |σ| , радіус кола зменшується, а його центр наближається до початку координат (0, 0), досягаючи його при |σ| = π/2, що є максимальним значенням змінної.

Криві сталих $\tau$ — кола різного радіусу, що не перетинаються між собою.

$y^2+{(x-a\coth \tau )}^2=\frac{a^2}{{\sinh }^2\tau }.$

Вони оточують фокуси, та не є концентричними. Центри кіл сталих τ лежать на осі іксів. Кола з дотатними τ лежать праворуч осі ігриків (x > 0), а кола з від'ємними τ лежать зліва від осі ігриків (x < 0). Крива τ = 0 відповідає осі ігриків (x = 0). Зі збільшенням абсолютньї величини τ радіус кіл зменшується, а їхні центри стягуються до фокусів.

Обернені співвідношення

Перейти від декартових до біполярних координат можна за наступними формулами:

$\tau =\frac{1}{2}\ln \frac{(x+a{)}^2+y^2}{(x-a{)}^2+y^2}$

та

$\pi -\sigma =2\arctan \frac{2ay}{a^2-x^2-y^2+\sqrt{(a^2-x^2-y^2{)}^2+4a^2{y}^2}}.$

Існують дві чудові тотожності

$\tanh \tau =\frac{2ax}{x^2+y^2+a^2}$

та

$\tan \sigma =\frac{2ay}{x^2+y^2-a^2}.$

Коефіцієнти Ламе

Коефіцієнти Ламе для біполярних координат (σ, τ) дорівнюють:

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\cosh \tau -\cos \sigma }$

Тож нескінченно малий елемент площі має форму

$dA=\frac{a^2}{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^2}d\sigma d\tau$

а оператор Лапласа задається як:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2}{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^2(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2})$

Інші диференціальні оператори, такі як $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ та $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ можна отримати в координатах (σ, τ), підставляючи коефіцієнти Ламе в загальні формули, виписані на сторінці ортогональна система координат.

Посилання на джерела

• H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50
• Шаблон:Springer
• Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186–190, 1967.
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.