Квадратні трикутні числа

Квадратне трикутне число 36 зображене як трикутне число та як квадратне числоd.

У математиці, квадратне трикутне число (або трикутне квадратне число) — число, яке одночасно є трикутним числом і ідеальним квадратом. Існує нескінченно багато таких чисел; декілька перших з них:

0, 1, 36, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val Шаблон:OEIS

Детальні формули

Якщо позначити Шаблон:Math для Шаблон:Mvar-го квадратного трикутного числа, а Шаблон:Math і Шаблон:Math прийняти за сторони відповідного квадрата і трикутника, тоді

$N_k=s_k^2=\frac{t_k(t_k+1)}{2}.$

Далі позначаємо трикутний корінь трикутного числа Шаблон:Math як Шаблон:Mvar. З цього визначення та квадратичної формули,

$n=\frac{\sqrt{8N+1}-1}{2}.$

Тому, Шаблон:Mvar є трикутним числом (для цілого Шаблон:Mvar) тоді й лише тоді, коли Шаблон:Math є квадратом. Відповідно, квадратне число Шаблон:Math є трикутним числом тоді й лише тоді, коли Шаблон:Math є квадратом, тобто, коли існують числа Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar, для яких Шаблон:Math. Це є випадком рівняння Пелля для Шаблон:Math. Всі рівняння Перря мають тривіальні рішення Шаблон:Math для будь-якогоШаблон:Mvar; це також називається нульовим рішенням, та індексується як Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math позначає Шаблон:Mvar-те нетривіальне рішення будб-якого рівняння Пелля для конкретного Шаблон:Mvar, воно може бути зображено методом спуска, тобто

$\begin{array}{cc}{x}_{k+1}& =2x_k{x}_1-x_{k-1},\\ y_{k+1}& =2y_k{x}_1-y_{k-1}.\end{array}$

Тому існує нескінченність рішень для будь-якого рівняння Пелля, для якого існує одне нетривіальне рішення, що залишається правильним для будь-якого Шаблон:Mvar, яке не є квадратом. Перше нетривіальне рішення для Шаблон:Math легко знайти: це (3,1). Рішення Шаблон:Math для рівняння Пелля для Шаблон:Math дає квадратне трикутне число та його квадратний та трикутний корінь, а саме:

$s_k=y_k,t_k=\frac{x_k-1}{2},N_k=y_k^2.$

Тому першим квадратним трикутним числом, отриманим від (3,1), є 1, а наступним, отриманим від Шаблон:Nowrap, є 36.

Послідовності Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math є відповідно послідовностями OEIS Шаблон:OEIS2C, Шаблон:OEIS2C і Шаблон:OEIS2C.

Леонард Ейлер 1778 року визначив точну формулуШаблон:Rp

$N_k={\left(\frac{{(3+2\sqrt{2})}^k-{(3-2\sqrt{2})}^k}{4\sqrt{2}}\right)}^2.$

Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають

$\begin{array}{cc}{N}_k& =\frac{1}{32}{({(1+\sqrt{2})}^{2k}-{(1-\sqrt{2})}^{2k})}^2\\ & =\frac{1}{32}({(1+\sqrt{2})}^{4k}-2+{(1-\sqrt{2})}^{4k})\\ & =\frac{1}{32}({(17+12\sqrt{2})}^k-2+{(17-12\sqrt{2})}^k).\end{array}$

Відповідні детальні формули для Шаблон:Math і Шаблон:Math є наступними:Шаблон:Rp

$\begin{array}{cc}{s}_k& =\frac{{(3+2\sqrt{2})}^k-{(3-2\sqrt{2})}^k}{4\sqrt{2}},\\ t_k& =\frac{{(3+2\sqrt{2})}^k+{(3-2\sqrt{2})}^k-2}{4}.\end{array}$

Рівняння Пелля

Проблема пошуку квадратних трикутних чисел зводиться до рівняння Пелля наступним чином.

Кожне трикутне число має форму Шаблон:Math, тому потрібно шукати такі цілі числа Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, що

$\frac{t(t+1)}{2}=s^2.$

Трансформуючи, отримуємо

${(2t+1)}^2=8s^2+1,$

а тоді, підставляючи Шаблон:Math і Шаблон:Math, отримуємо Діофантове рівняння

$x^2-2y^2=1,$

яке є окремим випадком рівняння Пелля. Це конкретне рівняння вирішується числом Пелля Шаблон:Math, а саме

$x=P_{2k}+P_{2k-1},y=P_{2k};$

а тому всі рішення можна записати як

$s_k=\frac{P_{2k}}{2},t_k=\frac{P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2},N_k={\left(\frac{P_{2k}}{2}\right)}^2.$

Існує багато тотожностей щодо числа Пелля, і ці тотожності транслюються у тотожності щодо квадратних трикутних чисел.

Рекурентні співвідношення

Існують рекурентні співвідношення для квадратних трикутних чисел, так само як і для сторін їх квадратів і трикутників. МаємоШаблон:Rp

$\begin{array}{cccc}{N}_k& =34N_{k-1}-N_{k-2}+2,& \text{де }{N}_0& =0\text{ і }{N}_1=1;\\ N_k& ={(6\sqrt{N_{k-1}}-\sqrt{N_{k-2}})}^2,& \text{де }{N}_0& =0\text{ і }{N}_1=1.\end{array}$

МаємоШаблон:Rp

$\begin{array}{cccc}{s}_k& =6s_{k-1}-s_{k-2},& \text{де }{s}_0& =0\text{ і }{s}_1=1;\\ t_k& =6t_{k-1}-t_{k-2}+2,& \text{де }{t}_0& =0\text{ і }{t}_1=1.\end{array}$

Інші характеристики

Всі квадратні трикутні числа мають форму Шаблон:Math, де Шаблон:Math є наближенням до ланцюгового дробу для [[Квадратний корінь з двох|Шаблон:Sqrt]].

А. В. Сільвестер надав наступний короткий доказ, що існує нескінченність квадратних трикутних чисел:

Якщо Шаблон:Mvar-не трикутне число Шаблон:Math є квадратним, то і більше Шаблон:Math-не трикутне число є таким, оскільки:

$\frac{(4n(n+1))(4n(n+1)+1)}{2}=4\frac{n(n+1)}{2}{(2n+1)}^2.$

Ми знаємо, що цей результат має бути квадратним числом, оскільки він є результатом множення трьох квадратів: 4, Шаблон:Math (початкове квадратне трикутне число) та Шаблон:Math.

Трикутні корені Шаблон:Math є одночасно на одиницю менші квадрата і є подвоєним квадратом, якщо Шаблон:Mvar є парним числом, та одночасно є квадратом і на одиницю менше подвоєного квадрату, якщо Шаблон:Mvar непарним числом. Так,

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² − 1 = 2 × 12², і

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

У кожному випадку, два використані квадратні корені при множенні дають Шаблон:Math: Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, і Шаблон:Nowrap.Шаблон:Citation needed

Додатково:

$N_k-N_{k-1}=s_{2k-1};$

Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, and Шаблон:Nowrap. Іншими словами, різниця між двома послідовними квадратними трикутними числами є квадратним коренем іншого квадратного трикутного числа.Шаблон:Citation needed

Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:

$\frac{1+z}{(1-z)(z^2-34z+1)}=1+36z+1225z^2+\cdots$

Числові дані

По мірі зростання Шаблон:Mvar, співвідношення Шаблон:Math наближається до [[Квадратний корінь з двох|Шаблон:Sqrt]] ≈ Шаблон:Val, а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається Шаблон:Nowrap Шаблон:Nowrap ≈ Шаблон:Val. Таблиця нижче дає значення Шаблон:Mvar між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до Шаблон:Val.

Шаблон:Mvar	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	Шаблон:Val	36
3	Шаблон:Val	35	49	1.4	Шаблон:Val
4	Шаблон:Val	204	288	Шаблон:Val	Шаблон:Val
5	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val
6	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val
7	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val
8	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val
9	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val
10	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val
11	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val	Шаблон:Val

Див. також

• Задача про гарматні кулі, про числа, які є одночасно квадратними та квадратними пірамідальними
• Шостий степінь, числа, які є одночасно квадратними та кубічними
• Квадратне число
• Центроване квадратне число

Посилання

• Трикутні числа, які також квадратні Шаблон:Webarchive на cut-the-knot
• Шаблон:MathWorld
• Рішення Майкла Даммета Шаблон:Webarchive