Теорема Гротендіка про розщеплення

Теорема Гротендіка про розщеплення дає класифікацію голоморфних векторних розшарувань над комплексною проективною прямою. А саме, вона стверджує, що кожне голоморфне векторне розшарування над $ℂ{\mathrm{P}}^1$ є прямою сумою голоморфних 1-вимірних розшарувань.

Історія

Теорему названо на честь Александра Гротендіка, який довів її в 1957 році. Вона еквівалентна теоремі, доведеній 1913 року Джорджем Біркгофом, але була відома вже 1908 року Йосипу Племелю і 1905 року Давиду Гільберту.

Формулювання

Формулювання Гротендіка

Кожне голоморфне векторне розшарування $ℰ$ над $ℂ{\mathrm{P}}^1$ голоморфно ізоморфне прямій сумі лінійних розшарувань:

$ℰ\cong 𝒪(a_1)\oplus \cdots \oplus 𝒪(a_n),$

де $𝒪(a)$ позначає розшарування з класом Черна $a$. Більш того, це подання єдине з точністю до перестановки доданків.

Формулювання Біркгофа

Оборотна матриця $M$, кожна компонента якої є многочленом Лорана від $z$, подається у вигляді добутку

$M=M^{+}{M}^0{M}^{-}$,

де матриця $M^{+}$ — многочлен від $z$, $M^0$ — діагональна матриця, і матриця $M^{-}$ — многочлен від $\frac{1}{z}$.

Застосування

• Теорема Гротендіка про розщеплення використовується в доведенні Мікалефа і Мура теореми про сферу з додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.

Варіації та узагальнення

• Той же результат має місце для алгебричних векторних розшарувань над ${\mathbb{P}}_k^1$ для будь-якого поля $k$.

Література

• Шаблон:Citation.