Вектор Шеплі

Вектор Шеплі — принцип оптимальності розподілу виграшу між гравцями в задачах теорії кооперативних ігор. Являє собою розподіл, в якому виграш кожного гравця дорівнює його середньому вкладу в виграш великої коаліції при певному механізмі її формування.

Формальне означення

Для кооперативної гри розглянемо деяке впорядкування множини всіх гравців $N$. Позначимо через $K_i$ підмножину, яка містить перших $i$ гравців в даному впорядкуванні. Вкладом '$i$-го гравця назвемо величину $v(K_i)-v(K_{i-1})$, де $v$ — характеристична функція кооперативної гри.

Вектором Шеплі кооперативної гри називається такий розподіл виграшу, що кожний гравець отримує математичне сподівання свого вкладу в відповідні коаліції K_i, при рівноймовірному винекненні впорядкувань :

$\mathrm{\Phi }(v)=\frac{1}{n!}\sum _{\tau \in T}{x}_{\tau },$

де $n$ — кількість гравців, $T$ — множина впорядкувань множити гравців $N,x_{\tau }$ — розподіл виграшу в якому гравець, що стоїть на місці $i$ у впорядкуванні $\tau$, отримує свій вклад в коаліцію $K_i$ (точка Вебера).

Більш розповсюджена формула для обчислення вектора Шеплі, яка не потребує знаходження $n!$ точок Вебера, має вигляд:

$\mathrm{\Phi }(v{)}_i=\sum _{K\ni i}\frac{(k-1)!(n-k)!}{n!}(v(K)-v(K\setminus i)),$

де $n$ — кількість гравців, $k$ — кількість учасників коаліції $K$.

Аксіоматика вектора Шеплі

Вектор Шеплі задовольняє наступним властивостям:

1. Лінійність. Відображення $\mathrm{\Phi }(v)$ є лінійним оператором, тобто для будь-яких двох ігор з характеристичними функціями $v$ і $w$:

$\mathrm{\Phi }(v+w)=\mathrm{\Phi }(v)+\mathrm{\Phi }(w);$

і для будь-якої гри з характеристичною функцією $v$ і для будь-якого $\alpha$:

$\mathrm{\Phi }(\alpha v)=\alpha \mathrm{\Phi }(v).$

2. Симетричність. Виграш, який отримує гравець не залежить від його номера. Це означає, що якщо гра $w$ отримана з гри $v$ перестановкою гравців, то її вектор Шеплі $\mathrm{\Phi }(w)$ є вектор $\mathrm{\Phi }(v)$ з відповідним чином переставленими елементами.

3. Аксіома бовдура. В теорії кооперативних ігор бовдуром називається гравець, який не вносить вклад ні в одну з коаліцій, тобто гравець $i$ такий, що для будь-якої коаліції $K$, яка містить $i$ виконується: $v(K)-v(K\setminus i)=0$.

Аксіома бовдура полягає в тому, що якщо гравець $i$ — бовдур, то $\mathrm{\Phi }(v{)}_i=0$.

4. Ефективність. Вектор Шеплі дозволяє повністю розділити виграш великої коаліції, тобто сума компонент вектора $\mathrm{\Phi }(v)$ рівна $v(N)$.

Теорема Шеплі. Для будь-якої коопертивної гри $v$ існує єдиний розподіл виграшу, який задовольняє аксіомам 1 — 4.

Див. також

• Кооперативна гра (теорія ігор)

Література

• Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
• Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
• Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.