Арифметична група

Арифметична група — це група, що отримується як цілі точки алгебричної групи, наприклад, ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}).$ Арифметичні групи виникають природним чином при вивченні арифметичних властивостей квадратичних форм та інших класичних областей теорії чисел. Вони також є джерелом для дуже цікавих прикладів риманових многовидів, а тому представляють інтерес для диференціальної геометрії і топології. Нарешті, ці дві області об'єднуються в теорію автоморфних форм, яка є фундаментальною в сучасній теорії чисел.

Якщо $\mathrm{G}$ є алгебричною підгрупою групи ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Q})$ для деякого $n$, то ми можемо означити арифметичну підгрупу групи $\mathrm{G}(\mathbb{Q})$ як групу цілих точок $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})\cap \mathrm{G}(\mathbb{Q})$. У загальному випадку не очевидно, як точно означити поняття «цілих точок» $\mathbb{Q}$-групи, а підгрупа, визначена вище, може змінюватися, якщо ми візьмемо інше вкладення $\mathrm{G}\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Q}).$

Тоді краще означення поняття — взяти в якості означення арифметичної підгрупи групи $\mathrm{G}(\mathbb{Q})$ будь-яку групу $\mathrm{\Lambda }$, яка зрівнянна (це означає, що як $\mathrm{\Gamma }/(\mathrm{\Gamma }\cap \mathrm{\Lambda })$, так і $\mathrm{\Lambda }/(\mathrm{\Gamma }\cap \mathrm{\Lambda })$ є скінченними множинами) з групою $\mathrm{\Gamma }$, що означена вище (з урахуванням будь-якого вкладення в ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$). За цим означенням з алгебричною групою $\mathrm{G}$ асоційований набір «дискретних» підгруп, зрівнянних між собою.