Зв'язність (некомутативна геометрія)

Геометрія квантових систем (наприклад, некомутативна геометрія і супергеометрія) може бути сформульована в алгебричних термінах модулів і алгебр. Зв'язність на модулях узагальнює лінійну зв'язність на векторних розшаруваннях $E\to X$, записану як зв'язність на $C^{\mathrm{\infty }}(X)$-модулі перетинів$E\to X$.

Комутативна геометрія

Нехай $A$ — комутативне кільце і $P$ — $A$-модуль. Існують кілька еквівалентних означень зв'язності на $P$. Нехай $D(A)$ — модуль диференціювань кільця $A$. Зв'язність на $A$-модулі $P$ визначається як морфізм $A$-модулів

$\mathrm{\nabla }:D(A)\ni u\to {\mathrm{\nabla }}_u\in {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_1(P,P),$

такий що диференціальні оператори першого порядку ${\mathrm{\nabla }}_u$ на $P$ задовольняють правилу Лейбніца

${\mathrm{\nabla }}_u(ap)=u(a)p+a{\mathrm{\nabla }}_u(p),a\in A,p\in P.$

Зв'язність на модулі над комутативним кільцем завжди існує. Кривина зв'язності $\mathrm{\nabla }$ визначається як диференційний оператор нульового порядку

$R(u,u^{\prime })=[{\mathrm{\nabla }}_u,{\mathrm{\nabla }}_{u^{\prime }}]-{\mathrm{\nabla }}_{[u,u^{\prime }]}.$

На модулі $P$ для всіх $u,u^{\prime }\in D(A)$.

Якщо $E\to X$ — векторне розшарування, існує взаємно однозначна відповідність між лінійними зв'язністями $\mathrm{\Gamma }$ на $E\to X$ і зв'язностями $\mathrm{\nabla }$ на $C^{\mathrm{\infty }}(X)$-модулі перетинів $E\to X$. При цьому, $\mathrm{\nabla }$ відповідає коваріантному диференціалу зв'язності на $E\to X.$

Література

• Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
• Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
• Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2 Шаблон:Webarchive
• Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint Шаблон:Webarchive, iv+181 pages.