Потік середньої кривини

Потік середньої кривини — визначений процес деформації гіперповерхонь в римановом многовиді, зокрема для поверхонь в 3-вимірному евклідовому просторі.

Потік деформує поверхню в нормальному напрямку зі швидкістю, що дорівнює її середній кривині. Наприклад, сфера під дією потоку стискається в точку.

Рівнення

Однопараметричне сімейство поверхонь $f_t:S\hookrightarrow M$ є потоком середньої кривини, якщо

$\frac{\partial f_t(x)}{\partial t}=H_t(x)\cdot n(x),$

де $H_t(x)$ і $n(x)$ позначають середню кривину і одиничний вектор нормалі до поверхні $f_t(S)$ в точці $f_t(x)$.

Властивості

• Рівняння потоку є параболічним диференціальним рівнянням в частинних похідних.
  • Зокрема, це гарантує існування розв'язку для малих значень тимчасового параметра.
• Мінімальні поверхні є критичними точками для потоку середньої кривини.
• Зазвичай потік середньої кривизни формує особливість за скінченний час, починаючи з якої потік перестає бути визначений.
• Шаблон:Нп
• Під дією потоку замкнута опукла гіперповерхня в евклідовому просторі залишається опуклою. Більш того, вона переходить в точку за скінченний час, і безпосередньо до цього моменту поверхня наближається до стандартної сфері з точністю до зміни масштабу.

Див. також

• Вкорочувальний потік

Джерела

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.