Пі-теорема Букінгема

Пі-теорема Букінгема — це ключова теорема в аналізі розмірностей. Це формалізація методу аналізу розмірностей Релея. Вільно кажучи, теорема стверджує, що якщо рівняння включає певну кількість n фізичних змінних, тоді початкове рівняння можна переписати за допомогою множини з p = n - k безрозмірнісних параметрів Шаблон:Pi₁, Шаблон:Pi₂, ..., Шаблон:Pi_p сконструйованих з початкових змінних. (Тут k — це кількість залучених фізичних розмірностей; її обчислюють як ранг спеціальної матриці.)

Теорему можна розглядати як схему знерозмірнення, бо вона надає метод для обчислення множини безромірнісних параметрів з заданих змінних, навіть якщо форма рівняння все ще невідома.

Твердження

Більш формально, кількість безрозмірнісних членів, які можна утворити, p, дорівнює вимірності ядра матриці розмірностей, а k — це її ранг. Для експериментальних цілей, різні системи, що мають однаковий опис мовою цих безрозмірнісних фізичних величин — тотожні.

Викладаючи математично, якщо ми маємо фізично значиме рівняння таке як

f (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}) = 0,

де q_i — це n фізичних змінних і вони виражені через k незалежних фізичних одиниць, тоді попереднє рівняння можна переформулювати як

F (π_{1}, π_{2}, \dots, π_{p}) = 0,

де Шаблон:Pi_i — це безрозмірнісні параметри, утворені з q_i використовуючи p = n − k безрозмірнісних рівнянь — так званих Пі груп — у вигляді

π_{i} = q_{1}^{a_{1}} q_{2}^{a_{2}} \dots q_{n}^{a_{n}},

де показники a_i — це раціональні числа (їх завжди можна перевизначити як цілі, піднесши Шаблон:Pi_i до степеня, так щоб позбутись знаменника).

Доведення

Нарис

Припустимо, що простір фундаментальних і похідних фізичних величин формує векторний простір над раціональними числами, де фундаментальні величини виявляють себе як базисні вектори, а добуток фізичних величин проявляється як векторне додавання і піднесення до степеня як множення на скаляр. Цей простір представляє розмірності як множину показників, необхідних для фундаментальних величин (якщо степінь нульова, то ця фундаментальна величина відсутня). Наприклад, стандартне гравітаційне прискорення g має одиниці $D / T^{2} = D^{1} T^{- 2}$ , отже, воно представлене як вектор $(1, - 2)$ щодо базису фундаментальних одиниць (відстань, час).

Прирівнювання фізичних величин у множині фізичних рівнянь можна розглядати як накладання лінійних обмежень у векторному просторі фізичних величин.

Формальне доведення

Маючи систему з n розмірнісних змінних (з фізичними розмірностями) в k фундаментальних (базисних) розмірностях, запишемо матрицю розмірностей M, чиї рядки це фундаментальні розмірності і чиї стовпчики це розмірності змінних: (i, j)-й елемент — це степінь i-ї фундаментальної розмірності в j-й змінній. Отже,

M [\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}]

це фізичні одиниці величини

q_{1}^{a_{1}} q_{2}^{a_{2}} \dots q_{n}^{a_{n}} .

Безрозмірнісна змінна — це величина з фундаментальними розмірностями, піднесеними в нульовий степінь (нульовий вектор векторного простору фундаментальних розмірностей), що те саме, що ядро цієї матриці.

Система з n векторів (стовпчиків) з k лінійно незалежними рядками (ранг матриці — це кількість фундаментальних розмірностей) має ступінь виродженності, p, що задовольняє (p = n − k), де ступінь виродженності — це кількість стовпчиків/змінних, які можна зробити безрозмірнісними.

Безрозмірнісні змінні можна завжди обрати цілочисельними комбінаціями розмірнісних змінних. Не існує природного математичного вибору безрозмірнісних змінних; деякі варіанти безрозмірнісних змінних більш фізично значимі, і найкраще використовувати саме їх.

Приклади

Швидкість

Цей приклад елементарний, але підходить для демонстрації процедури.

Припустімо, що автівка рухається зі швидкістю 100 км/г; скільки їй потрібно часу, щоб подолати 200 км?

Це питання розглядає три розмірнісних змінних: відстань d, час t і швидкість v, і ми шукаємо деякий закон у вигляді Шаблон:Nowrap . Ці змінні допускають двовимірний базис: час T і відстань D. Таким чином, існує 3 − 2 = 1 безрозмірнісних величин.

Матриця розмірностей:

M = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}] .

Тут рядки відповідають базисним розмірностям D і T, а стовпчики розмірностям D, T і V, де остання позначає розмірність швидкості. Елементи матриці відповідають степеням, до яких відповідні розмірності треба піднести. Наприклад, третій стовпчик (1, −1), каже, що Шаблон:Nowrap, представлене вектором стовпчиком $𝐯 = [0, 0, 1]$ , представне в термінах базисних розмірностей як $V = D^{1} T^{- 1} = D / T$ , бо $M 𝐯 = [1, - 1]$ .

Для безромірнісної сталої $π = D^{a_{1}} T^{a_{2}} V^{a_{3}}$ , ми шукаємо вектори $𝐚 = [a_{1}, a_{2}, a_{3}]$ такі, що матрично-векторний добуток Ma дорівнює нульовому вектору [0,0]. В лінійній алгебрі, множина векторів з такою властивістю відома як ядро матриці, в нашому випадку матриці розмірностей. Тут це ядро одновимірне. Матриця розмірностей як записана вище вже є в скороченій рядковій формі, отже ми можемо просто зчитати ненульовий вектор з ядра з точністю до сталого множника:

𝐚 = [\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] .

Якщо матриця розмірностей була б не у скороченій формі, то можна було б використати метод Гауса. Отже, безрозмірнісна стала має вигляд:

π = d^{- 1} t^{1} v^{1} = t v / d .

З того, що ядро визначене з точністю до сталого множника, наведена безрозмірнісна стала піднесена до довільного степеня дає іншу (тотожну) безрозмірнісну сталу.

Аналіз розмірностей надав загальне рівняння, що пов'язує три фізичні змінні:

f (π) = 0,

або, дозволяючи $C$ позначати корінь функції $f$ ,

π = C,

що можна записати як

t = C \frac{d}{v},

Справжній зв'язок між трьома змінними це просто $d = v t$ . Інакше кажучи, в цьому випадку $f$ має фізично значимий корінь і це одиниця. Факт того, що лише одне значення C підходить і, що це 1 не відкривається за допомогою техніки аналізу розмірностей.

Простий маятник

Ми бажаємо визначити період T малих коливань простого маятника. Ми припускаємо, що це функція довжини L, маси M і прискорення g, яке має розмірність довжини поділеній на квадрат часу. Модель має форму

f (T, M, L, g) = 0 .

В цьому рівнянні наявні три фундаментальні фізичні розмірності: час $t$ , маса $m$ і довжина $ℓ$ , а також 4 розмірнісні змінні, T, M, L і g. Отже нам потрібен лише 4 − 3 = 1 безрозмірнісний параметр π. Модель можна виразити як

f (π) = 0,

де π заданий так

π = T^{a_{1}} M^{a_{2}} L^{a_{3}} g^{a_{4}}

для деяких значень a₁, ..., a₄.

Розмірності розмірнісних величин такі:

T = t, M = m, L = ℓ, g = ℓ / t^{2} .

Матриця розмірностей:

M = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}] .

(Рядки відповідають розмірностям $t, m$ і $ℓ$ , а стопчики розмірнісним змінним T, M, L і g. Наприклад, 4-й стовпчик, (−2, 0, 1), говорить, що g має розмірність $t^{- 2} m^{0} ℓ^{1}$ .)

Ми шукаємо вектор ядра a = [a₁, a₂, a₃, a₄] такий, що матричний добуток M на a дає нульовий вектор [0,0,0]. Матриця розмірностей наведена вище вже перебуває в скороченій рядковій формі, тому ми можемо зчитати вектор ядра з точністю до сталого множника:

a = [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] .

Безрозмірнісну сталу можна записати як:

\begin{matrix} π & = T^{2} M^{0} L^{- 1} g^{1} \\ = g T^{2} / L \end{matrix} .

Або в базисних розмірностях:

π = (t)^{2} (m)^{0} (ℓ)^{- 1} (ℓ / t^{2})^{1} = 1,

маємо безрозмірнісний результат.

Цей приклад простий, бо три розмірнісні величини — це фундаментальні одиниці, отже остання (g) — це комбінація попередніх. Зауважимо, що якщо б a₂ було ненульовим, тоді ми не змогли б скоротити значення M; звідси a₂ мусить бути нулем. Аналіз розмірностей дозволив нам заключити, що період маятника не залежить від маси. (В 3D просторі степенів маси, часу і відстані ми можемо скзати, що вектор маси лінійно незалежить від векторів трьох інших змінних. З точністю до сталого множника, $\vec{g} + 2 \vec{T} - \vec{L}$ — це єдиний нетривіальний спосіб утворити безрозмірнісний параметр.)

Тепер модель можна виразити як:

f (g T^{2} / L) = 0 .

Припускаючи, що корені f дискретні, можна сказати, що gT²/L = C_n, де C_n — n-й корінь функції f. Якщо існує лише один корінь, тоді gT²/L = C. Необхідно більше фізичної прозорливості, що показати, що дійсно існує лише один корінь і, що стала така C = 4π².

Для великих коливань маятника, аналіз ускладнюється додатковим безрозмірнісним параметром, найбільший кут відхилення. Наведений вище аналіз — це хороше наближення коли коли кут близький до нуля.

Див. також

Шаблон:Ізольована стаття

Пі-теорема Букінгема

Зміст

Твердження

Доведення

Нарис

Формальне доведення

Приклади

Швидкість

Простий маятник

Див. також

Навігаційне меню

Пі-теорема Букінгема

Твердження

Доведення

Нарис

Формальне доведення

Приклади

Швидкість

Простий маятник

Див. також

Навігаційне меню

Пошук