Розподіл Накаґамі

Розподіл Накаґамі — розподіл імовірностей випадкової величини $X$, що відноситься до Гамма-розподілу. Характеризується двома параметрами: параметр форми $m\ge 1/2$, та параметр, що контролює статистичну дисперсію $\mathrm{\Omega }>0$.

Властивості

Щільність розподілу обчислюється за формулою:

$f(x;m,\mathrm{\Omega })=\frac{2m^m}{\mathrm{\Gamma }(m){\mathrm{\Omega }}^m}{x}^{2m-1}\exp (-\frac{m}{\mathrm{\Omega }}{x}^2)$ $\mathrm{\forall }x\ge 0(m\ge 1/2,\text{ and }\mathrm{\Omega }>0),$

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функція.

Відповідна функція розподілу ймовірностей має вигляд:

$F(x;m,\mathrm{\Omega })=P(m,\frac{m}{\mathrm{\Omega }}{x}^2)$

де $P$ — неповна гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Накаґамі виражається як:

$mu(X)=\frac{\mathrm{\Gamma }(m+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(m)}{\left(\frac{\mathrm{\Omega }}{m}\right)}^{1/2}$

і

$\text{var}(X)=\mathrm{\Omega }(1-\frac{1}{m}{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }(m+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(m)}\right)}^2)$

Оцінка параметрів

Параметри $m$ та $\mathrm{\Omega }$ оцінюються наступним образом:

$m=\frac{{\mathrm{E}}^2\left[X^2\right]}{\mathrm{Var}\left[X^2\right]},$

та

$\mathrm{\Omega }=\mathrm{E}\left[X^2\right].$

Див. також

• Розподіл Рейлі