Модель діода

В електроніці, моделі діода є математичними моделями, що використовуються для апроксимації дійсної поведінки реальних діодів при аналізі ланцюгів. Вольт-амперна характеристика діода нелінійна (вона добре описується законом Шоклі). Ця нелінійність ускладнює обчислення в ланцюгах з діодами, тому часто необхідні прості моделі.

У цій статті розглядається моделювання діодів з p-n переходом, але методи можуть бути узагальнені на інші твердотільні діоди.

Моделювання великих сигналів

Діодна модель Шоклі

Рівняння Шоклі пов'язує струм діода з p-n переходом з напругою на діоді. Цей зв'язок називають Вольт-амперною характеристикою:

I = I_{S} (e^{\frac{V_{D}}{n V_{T}}} - 1)

,

де $I_{S}$ це струм насичення або масштабний струм діода (величина струму, що тече через негативний напрузі на діоді Шаблон:Math величиною понад декілька Шаблон:Math), зазвичай 10^-12 A). Масштабний струм пропорційний площі поперечного перерізу діода. Величина Шаблон:Math це теплова напруга (близько 26 мВ при нормальній температурі), а Шаблон:Math відоме як фактор ідеальності діода (для кремнієвих діодів приблизно від 1 до 2).

Якщо $V_{D} ≫ n V_{T}$ , то формула може бути спрощеною до:

I \approx I_{S} \cdot e^{\frac{V_{D}}{n V_{T}}}

.

Однак цей вираз є лише апроксимацією складніших Вольт-амперних характеристик. Його застосовність особливо обмежена у випадку надтонких переходів, для яких існують кращі аналітичні моделі^[1].

Приклад схеми з діодом і резистором

Для ілюстрації труднощів у застосуванні цього закону, розглянемо проблему знаходження напруги на рис. 1.

Позаяк струм, що протікає через діод, такий самий, як і струм у ланцюгу, можна скласти ще одне рівняння. За законими Кірхгофа, струм, що протікає в ланцюзі

I = \frac{V_{S} - V_{D}}{R}

.

Ці два рівняння визначають струм діода і напругу на діоді. Для розв'язання системи рівнянь, можна підставити струм Шаблон:Math з другого рівняння в перше рівняння, а потім спробувати перегрупувати отримане рівняння, щоб виразити Шаблон:Math через Шаблон:Math. Складність цього методу полягає в нелінійності діодного закону. Проте, формула, що виражає $I$ безпосередньо у плані $V_{S}$ без залучення $V_{D}$ може бути отримана з використанням Ламбертової $W$ -функції, яка є оберненою функцією від $f (w) = w e^{w}$ , тобто $w = W (f)$ . Це рішення обговорюється далі.

Явне рішення

Явний вираз для струму діода може бути отриманий в термінах Ламбертової W-функції (також звана Омега функція).^[2] Нову змінну $w$ вводять як

w = \frac{I_{S} R}{n V_{T}} (\frac{I}{I_{S}} + 1)

.

Після заміни $I / I_{S} = e^{V_{D} / n V_{T}} - 1$ :

w e^{w} = \frac{I_{S} R}{n V_{T}} e^{\frac{V_{D}}{n V_{T}}} e^{\frac{I_{S} R}{n V_{T}} (\frac{I}{I_{S}} + 1)}

і $V_{D} = V_{S} - I R$ :

w e^{w} = \frac{I_{S} R}{n V_{T}} e^{\frac{V_{S}}{n V_{T}}} e^{\frac{- I R}{n V_{T}}} e^{\frac{I R I_{S}}{n V_{T} I_{S}}} e^{\frac{I_{S} R}{n V_{T}}}

Після перестановки отримаємо:

w e^{w} = \frac{I_{S} R}{n V_{T}} e^{\frac{V_{s} + I_{s} R}{n V_{T}}}

,

який з допомогою Ламбертової $W$ -функції стає

w = W (\frac{I_{S} R}{n V_{T}} e^{\frac{V_{s} + I_{s} R}{n V_{T}}})

.

З апроксимаціями (дійсний для найбільш поширених значень параметрів) $I_{s} R ≪ V_{S}$ і $I / I_{S} ≫ 1$ цей розв'язок стає

I \approx \frac{n V_{T}}{R} W (\frac{I_{S} R}{n V_{T}} e^{\frac{V_{s}}{n V_{T}}})

.

Для великих x, $W (x)$ можна апроксимувати $W (x) = \ln x - \ln \ln x + o (1)$ . Для типових фізичних параметрів і опорів, $\frac{I_{S} R}{n V_{T}} e^{\frac{V_{s}}{n V_{T}}}$ = 10⁴⁰.

Ітераційне рішення

Напругу діода $V_{D}$ можна знайти з $V_{S}$ для будь-якого конкретного набору значень використовуючи ітераційний метод з допомогою калькулятора або комп'ютера.^[3] Діодний закон змінюється шляхом ділення на $I_{S}$ і додавання 1. Діодний закон буде

e^{\frac{V_{D}}{n V_{T}}} = \frac{I}{I_{S}} + 1

.

Взявши натуральні логарифми від обох сторін, експоненціальний видаляється, і рівняння стає

\frac{V_{D}}{n V_{T}} = \ln (\frac{I}{I_{S}} + 1)

.

Для будь-якого $I$ це рівняння визначає $V_{D}$ . Однак $I$ також повинні відповідати закону рівняння Кірхгофа, наведений вище. Замінивши $I$ отримаємо

\frac{V_{D}}{n V_{T}} = \ln (\frac{V_{S} - V_{D}}{R I_{S}} + 1)

,

або

V_{D} = n V_{T} \ln (\frac{V_{S} - V_{D}}{R I_{S}} + 1)

.

Напруга джерела $V_{S}$ відома, як задане значення, але $V_{D}$ є на обох сторонах рівняння, що викликає ітераційне рішення: початкового значення $V_{D}$ вгадується і задається в правій частині рівняння. Виконання різних операцій в правій частині, ми отримаємо нове значення $V_{D}$ . Це нове значення підставляється в правій стороні і так далі. Якщо ця ітерація збігається, то значення $V_{D}$ стають ближче і ближче один до одного, як процес триває поки не буде досягнуто відповідної точністі. Знайшовши $V_{D}$ , $I$ може бути знайдено з закону рівняння Кірхгофа.

Іноді ітераційна процедура значною мірою залежить від початкового наближення. У цьому прикладі, початкове значення $V_{D} = 600 mV$ . Іноді ітераційний процес сходиться на всіх: у цій задачі ітерації на основі експоненціальної функції не сходиться, і тому рівняння були перебудовані, щоб використовувати логарифм. Пошук сходиться ітераційний формулювання-це мистецтво, і у кожної проблеми є різні.

Графічний розв'язок

Графічний аналіз являє собою простий спосіб для отримання чисельного розв'язку трансцендентних рівнянь, що описують діод. Як і в більшості графічних методів, воно має перевагу легкої візуалізації. Побудовувавши I-V криві, можна одержати наближений розв'язок для будь-якої точності.Цей процес є графічним еквівалентом двох попередніх підходів, які є більш схильними до комп'ютерної реалізації.

Цей метод будує два вольт-амперних рівняння на графіку і точки перетину двох кривих задовольняють обидва рівняння дає значення струму, що протікає по ланцюгу і напругу на діоді. На малюнку показаний такий спосіб.

Кусково-лінійна модель

На практиці, графічний метод складний і непрактичний для складних схем. Інший метод моделювання діода називається кусково-лінійним (каркаса) моделювання. В математиці, це означає, що береться функція і розбивається на кілька лінійних сегментів. Цей метод використовується для апроксимації діодної характеристики як послідовністі лінійних сегментів. Реальний діод моделюється як трьох компонентний: ідеальний діод, джерело напруги і резистор.

На малюнку показана I-V крива реального діода, яка апроксимується двома відрізками кусково-лінійної моделі. Зазвичай похилий відрізок є дотичною до кривої діода в точці Q. Тоді нахил цієї лінії визначається, як зворотній до малого сигналу опіру діода в точці Q.

Математично ідеалізований діод

По-перше, давайте розглянемо математично ідеалізований діод. Як і в ідеальному діод, якщо діод є зворотньо зміщеним, струм, що протікає через нього дорівнює нулю. Це ідеальний діод починає проводити для 0 V для будь-якої додатньої напруги нескінчено протікає струм, і діод веде себе як коротке замикання. I-V характеристики ідеального діода показано нижче:

Ідеальний діод послідовно з джерелом напруги

Тепер давайте розглянемо випадок, коли ми додаємо джерела напруги послідовно з діодом у формі, наведеній нижче:

Ідеальний діод-це просто коротке замикання, а коли зворотне зміщення, обрив ланцюга.

Якщо анод діода, підключений до 0 V, напруга на катоді є Vt і тому потенціал на катоді буде більше, ніж потенціал на аноді, і діод буде зворотним упередженим. Для того, щоб отримати діод, необхідно провести напругу на аноді до Vt. Ця схема приблизно дорівнює напрузі вхідного в реальних діодах. Комбінована I-V характеристика цієї схеми показана нижче:

Модель діода Шоклі можуть бути використані для прогнозування приблизне значення $V_{t}$ .

$\begin{matrix} I = I_{S} (e^{\frac{V_{D}}{n \cdot V_{T}}} - 1) \\ \Leftrightarrow & \ln (1 + \frac{I}{I_{S}}) = \frac{V_{D}}{n \cdot V_{T}} \\ \Leftrightarrow & V_{D} = n \cdot V_{T} \ln (1 + \frac{I}{I_{S}}) \approx n \cdot V_{T} \ln (\frac{I}{I_{S}}) \\ \Leftrightarrow & V_{D} \approx n \cdot V_{T} \cdot \ln 10 \cdot \log_{10} (\frac{I}{I_{S}}) \end{matrix}$

Використовуючи $n = 1$ і $T = 25 °C$ :

V_{D} \approx 0.05916 \cdot \log_{10} (\frac{I}{I_{S}})

Типові значення струму насичення при кімнатній температурі:

$I_{S} = 1 0^{- 12}$ для кремнієвих діодів;
$I_{S} = 1 0^{- 6}$ для германієвих діодів.

Поки варіант $V_{D}$ йде з логарифмом співвідношення $\frac{I}{I_{S}}$ , його значення варіюється дуже мало для великої зміни співвідношення. Використання основа 10 логарифмів спрощує думаю в порядки.

На постійний струм 1.0 mA отримуємо:

$V_{D} \approx 0.53 V$ для кремнієвих діодів (9 порядків);
$V_{D} \approx 0.18 V$ для германієвих діодів (3 порядку).

Для струму 100 mA отримуємо:

$V_{D} \approx 0.65 V$ для кремнієвих діодів (11 порядків);
$V_{D} \approx 0.30 V$ для германієвих діодів (на 5 порядків).

Значення або 0,6 0,7 вольт зазвичай використовуються для кремнієвих діодів.

Малосигнальні моделі

Опір

Використовуючи рівняння Шоклі, малосигнальний діодий опір $r_{D}$ діода може бути отриманий в якийсь робочій точці (Q-точка), де струму підмагнічування є $I_{Q}$ і Q-точка прикладеної напруги $V_{Q}$ .^[4] Для початку, діод малосигнальний провідності $g_{D}$ знайдено, як зміна струму в діоді, викликана невеликою зміною напруги, поділено на цю зміна напруги, а саме:

g_{D} = {\frac{d I}{d V} |}_{Q} = \frac{I_{s}}{n \cdot V_{T}} e^{\frac{V_{Q}}{n \cdot V_{T}}} \approx \frac{I_{Q}}{n \cdot V_{T}}

.

Остання апроксимація припускає, що струм зміщення $I_{Q}$ досить великий, так що фактор 1 в дужках рівняння Шоклі діода можна знехтувати. Ця апроксимація є точною, навіть при відносно малих напругах, тому що теплова напруга $V_{T} \approx 25 mV$ при 300 K, так $V_{Q} / V_{T}$ має тенденцію бути великим, це означає, що експоненціальна дуже великі.

Зазначивши, що малий-сигналу опір $r_{D}$ це взаємне малосигнальної провідності знайшов, опір діода не залежить від струму, але залежить від струму, і дана, як

r_{D} = \frac{n \cdot V_{T}}{I_{Q}}

.

Ємності

Відомо, що заряд у діоді струм $I_{Q}$

Q = I_{Q} τ_{F} + Q_{J}

,

де $τ_{F}$ вперед часу транзиту носіїв заряду.^[4] Перший доданок в заряд є заряд транзитом через діод, коли струм $I_{Q}$ потоків. Другий термін-це заряд, що зберігається у стику самому собі, коли він розглядається як простий конденсатор; тобто, у вигляді пари електродів з протилежними зарядами на них. Цей заряд, накопичений на діодні в силу простої наявності напруги на ньому, незважаючи ні на що він проводить струм.

Таким же чином, як і раніше, ємність діода є відношення заряду діода до напруги діода:

C_{D} = \frac{d Q}{d V_{Q}} = \frac{d I_{Q}}{d V_{Q}} τ_{F} + \frac{d Q_{J}}{d V_{Q}} \approx \frac{I_{Q}}{V_{T}} τ_{F} + C_{J}

,

де $C_{J} = \frac{d Q_{J}}{d V_{Q}}$ це місткості переходу і перший термін називається дифузійної ємності, т. к. це пов'язано з поточною дифузією через перехід.

Див. також

Біполярний транзистор

Посилання

Шаблон:Reflist Шаблон:Ізольована стаття

[Popadic-1] Шаблон:Cite journal

[2] Шаблон:Cite journal

[Sedra2-3] . Шаблон:Cite book

[jaeger-4] 4,0 ^4,1 Шаблон:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]