Аксіоматика Біркгофа

Аксіоматика Джорджа Біркгофа — це система із чотирьох аксіом евклідової геометрії. У формулюванні аксіом використовується поняття дійсного числа. Тому аксіоматика Біркгофа нагадує введення евклідової геометрії за допомогою моделі.

Історія

Біркгоф брав участь у написанні шкільного підручника з використанням цієї системи аксіом. Ця система вплинула на ту систему аксіом, яка була розроблена Шаблон:Iw для американської школи.

Аксіоми

Аксіома І. Множина точок ${A, B, . . .}$ на довільній прямій допускає бієкцію на множину дійсних чисел ${a, b, . . .}$ , причому так, що $| A B | = | b - a |$ для всіх точок А і В.

Аксіома ІІ. Існує одна і тільки одна пряма ℓ, якій належать довільні дві різні точки Р та Q.

Аксіома ІІІ. Множина променів {ℓ, , ,…} з початком в будь-якій точці O допускає бієкцію на множину дійсних чисел по модулю 2 $π$ так, що коли A та B - точки (відмінні від О) на променях ℓ і m відповідно, то різниця $a_{m} - a_{l} (m o d 2 π)$ для променів ℓ та m дорівнює $∠ A O B$ . Крім того, якщо точка B на m рухається неперервно вздовж прямої p, яка не містить вершину О, то число $a_{m}$ також змінюється неперервно.

Аксіома IV. Припустимо, що два трикутника ABC та A'B'C' такі, що $| A^{'} B^{'} | = k | A B |$ , $| A^{'} C^{'} | = k | A C |$ для деякого дійсного числа k > 0 та $∠ B^{'} A^{'} C^{'} = \pm ∠ B A C (m o d 2 π)$ , тоді $| B^{'} C^{'} | = k | B C |$ , $∠ A^{'} C^{'} B^{'} = \pm ∠ A C B (m o d 2 π)$ , $∠ C^{'} B^{'} A^{'} = \pm ∠ C B A (m o d 2 π)$ .