Теорема Райкова

Теорема Райкова — твердження в теорії ймовірностей. Добре відомо, що якщо випадкові величини ${\xi }_1$ та ${\xi }_2$ незалежні та розподілені по закону Пуассона, то їх сума також розподілена по закону Пуассона. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження.

Формулювання теореми

Нехай випадкова величина $\xi$ має розподіл Пуассона та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2$. Тоді розподіли випадкових величин ${\xi }_1$ та ${\xi }_2$ є зсувами розподілів Пуассона.

Коментар

Теорема Райкова аналогічна теоремі Крамера, в якій стверджується, що якщо сума двох незалежних випадкових величин має нормальний розподіл, то кожна з цих випадкових величин також має нормальний розподіл. Ю.В. Линник довів, що згортка нормального розподілу та розподілу Пуассона також має аналогічну властивість (теорема Линника).

Узагальнення на локально компактні абелеві групи

Нехай $X$ — локально компактна абелева група. Позначимо через $M^1(X)$ півгрупу за згорткою ймовірнісних розподілів на $X$, а  через $E_x$ — вироджений розподіл, зосереджений в точці $x\in X$. Нехай $x_0\in X$, $\lambda >0$.

Розподілом Пуассона, породженим мірою $\lambda E_{x_0}$, називається зсув розподілу виду

$\mu =e(\lambda E_{x_0})=e^{-\lambda }(E_0+\lambda E_{x_0}+{\lambda }^2{E}_{2x_0}/2!+\dots +{\lambda }^n{E}_{n{x}_0}/n!+\dots ).$

Має місце наступне твердження.

Теорема Райкова на локально компактних абелевих групах

Нехай $\mu$ — розподіл Пуассона, породжений мірою $\lambda E_{x_0}$. Нехай $\mu ={\mu }_1*{\mu }_2,$де ${\mu }_j\in M^1(X)$. Якщо $x_0$ — або елемент нескінченого порядку, або порядку 2, то ${\mu }_j$ також є розподілом Пуассона. Якщо ж $x_0$ — елемент скінченного порядку $n$, $n\ne 2$, то ${\mu }_j$ може бути не розподілом Пуассона.