Градієнтна теорема

Шаблон:Числення Градієнтна теорема, або фундаментальна теорема числення для криволінійних інтегралів, стверджує, що криволінійний інтеграл над градієнтним полем можна розрахувати через розрахунок початкового скалярного поля в кінцевих точках кривої.

Нехай $\phi :U\subseteq {ℝ}^n\to ℝ$ і $\gamma$ є довільною кривою від точки p до q. Тоді

$\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)=\underset{\gamma [𝐩,𝐪]}{\int }\mathrm{\nabla }\phi (𝐫)\cdot d𝐫.$

Це є узагальненням фундаментальної теореми числення для будь-якої кривої на площині або у просторі (у загальному n-вимірному випадку), а не лише для дійсних кривих.

Градієнтна теорема стверджує, що криволінійні інтеграли у градієнтному полі не залежать від пройденого шляху. В фізиці ця теорема є однією із форм визначення консервативних сил, де φ означатиме потенціал, а ∇φ це потенціальне векторне поле. Робота яку здійснюють консервативні сили не залежить від шляху, що пройдений об'єктом, а залежить лише від кінцевих точок, як показує наведене вище рівняння.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр