Індуковане розшарування

Індуковане розшарування — розшарування ${\pi }^{\prime }:f^{*}(E)\to B^{\prime }$, індуковане відображенням $f:B^{\prime }\to B$ і розшаруванням $\pi :E\to B$, де $f^{*}(E)$ — підпростір прямого добутку $B^{\prime }\times E$, що складається з пар $(b^{\prime },e)$, виду:

$\{(b^{\prime },e)\in B^{\prime }\times E\mid f(b^{\prime })=\pi (e)\}\subset B^{\prime }\times E$,

для яких $f(b^{\prime })=\pi (e)$, а проєкція за означенням задана як ${\pi }^{\prime }:(b^{\prime },e)\mapsto b^{\prime }$.

Шаром Шаблон:Math над точкою Шаблон:Math простору Шаблон:Math є шар у Шаблон:Math над Шаблон:Math. Тобто як множина Шаблон:Math є диз'юнктним об'єднанням всіх цих шарів.

Відображення $\tilde{f}:f^{*}(E)\to E$ індукованого розшарування в вихідне розшарування, задане формулою $\tilde{f}(b^{\prime },e)=e$ є морфізмом розшарувань, що накриває $f$. При цьому комутативна діаграма утворює декартовий квадрат:

Властивості

• Для кожної точки $b^{\prime }\in B^{\prime }$ обмеження на шар є гомеоморфізмом.
• Для будь-якого розшарування $\eta :X\to B^{\prime }$ і морфізму розшарувань $h:X\to E$, що накриває $f$, існує один і тільки один $B^{\prime }$-морфізм $k:X\to f^{*}(E)$, що задовольняє співвідношенню $\tilde{f}k=h$.
• Розшарування, індуковані ізоморфними розшаруваннями, є ізоморфними. Розшарування, індуковане постійним відображенням є ізоморфним тривіальному розшаруванню.
• Для будь-якого перетину $s$ розшарування $\pi$ відображення $\sigma :B^{\prime }\to f^{*}(E)$, задане формулою $\sigma (b^{\prime })=(b^{\prime },sf(b^{\prime }))$, є перетином індукованого розшарування $f^{*}(\pi )$ і задовольняє співвідношенню $\tilde{f}\sigma =sf$.
• Якщо Шаблон:Math є локальною тривіалізацією розшарування Шаблон:Math, тоді Шаблон:Math є локальною тривіалізацією Шаблон:Math де

$\psi (b^{\prime },e)=(b^{\prime },{\text{proj}}_2(\phi (e))).$

Тобто у цьому випадку Шаблон:Math теж є локально тривіальним розшаруванням над Шаблон:Math з шаром Шаблон:Math.

• Якщо локально тривіальне розшарування Шаблон:Math також має структурну групу Шаблон:Math з функціями перетворення Шаблон:Math (для локальних тривіалізацій Шаблон:Math, тоді Шаблон:Math також буде структурною групою індукованого розшарування Шаблон:Math. Функції перетворення розшарування Шаблон:Math рівні

$f^{*}{t}_{ij}=t_{ij}\circ f.$

• Якщо Шаблон:Math є векторним чи головним розшаруванням, то таким же розшаруванням є Шаблон:Math. У випадку головних розшарувань права дія групи Шаблон:Math на Шаблон:Math визначається як

$(x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)$

Звідси випливає, що $\tilde{f}$ є еквіваріантним відображенням і тому задає морфізм головних розшарувань.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book