Теорема про суму кутів трикутника

Сума кутів трикутника $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },$ або розгорнутому куту.

Теорема про суму кутів трикутника стверджує, що у евклідовому просторі сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Еквівалентні формулювання такі. Сума кутів трикутника дорівнює [[Число пі|Шаблон:Pi]] радіан, розгорнутому куту, двом прямим кутам, або пів-оберту.

Довгий час було не відомо, чи буде в інших геометріях сума кутів відмінною. Пошук відповіді на це питання суттєво вплинув на математику у 19 столітті. Врешті-решт, було отримано позитивну відповідь: в інших просторах (геометріях) сума кутів трикутника може бути більше або менше, і сума кутів залежить від вибраного трикутника. Відмінність суми від 180° називається дефектом трикутника і використовується як характеристика геометрії простору.

Сума кутів у евклідовій геометрії

Для плаского многокутника в евклідовій площині сума кутів обчислюється за формулою

$(n\cdot 180^{\circ })-360^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ },$

де $n$ — кількість сторін багатокутника.

Приклади

Обчислимо суми кутів три-, чотири-, та п'ятикутника:

• для трикутника ($n=3$): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(3-2)\cdot 180^{\circ }=180^{\circ }$
• для чотирикутника ($n=4$): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(4-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$
• для п'ятикутника ($n=5$): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(5-2)\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$

Еквівалентні твердження

У евклідовій геометрії постулат про трикутник стверджує, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам. Це твердження еквівалентне постулату про паралельні прямі. За умови, що виконуються аксіоми евклідової геометрії, наступні твердження є еквівалентними:

• Постулат про трикутник: Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам.
• Аксіома Плейфайєра: Через точку, що не лежить на заданій прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній.
• Аксіома Прокла: Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних ліній, то вона повинна перетинати й іншу.
• Постулат рівновіддаленості: Паралельні прямі рівновіддалені (тобто, відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої одна й та ж сама).
• Властивість площі трикутника: Площа трикутника може бути скільки завгодно великою.
• Властивість трьох точок: Будь-які три точки лежать або на прямій або на колі.
• Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Див. також

• Начала Евкліда
• Аксіоматика Гільберта